如圖i,半圓O為△ABC的外接半圓,AC為直徑,D為劣弧上的一動點,P在CB的延長線上,且有∠BAP=∠BDA.
(1)求證:AP是半圓O的切線;
(2)當其它條件不變時,問添加一個什么條件后,有BD2=BE•BC成立?說明理由;
(3)如圖ii,在滿足(2)問的前提下,若OD⊥BC與H,BE=2,EC=4,連接PD,請?zhí)骄克倪呅蜛BDO是什么特殊的四邊形,并求tan∠DPC的值.

【答案】分析:(1)證∠PAC=90°即可;
(2)使BD2=BE•BC成立,即要證△BDE∽△BDC,應(yīng)有∠D=∠BCD,則應(yīng)該添加弧BD=弧AB;
(3)證得AB與OD平行且相等,就有四邊形ABDO是平行四邊形,又AO=OD,有四邊形ABDO是菱形,利用銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的性質(zhì)求得PB和PH值即可.
解答:(1)證明:∵∠D與∠C對同一弧,
∴∠D=∠C.
∵AC為直徑,
∴∠ABC=90°.
∴∠C+∠BAC=90°.
∵∠BAP=∠BDA,
∴∠PAB+∠BAC=90°.
即∠PAC=90°.
故AP是圓的切線.

(2)解:添加弧BD=弧AB.
∵弧AB=弧BD,
∴∠D=∠BCD.
∵∠DBE=∠DBC,
∴△BDE∽△BDC.
∴BD:BC=BE:BD.
即BD2=BE•BC.

(3)解:∵AC是半圓的直徑,OD⊥BC,
∴∠ABC=∠OHC=90°,OD∥AB.
∵OD⊥BC,
∴點D是弧BC的中點.
∴AD是∠BAC的平分線.
∴AB:BE=AC:CE.
∴AB:AB=BE:CE=2:4=1:2.
∴AC=2AB.
∵AC=2AO=2OD,
∴AB=OD.
即AB與OD平行且相等,
∴四邊形ABDO是平行四邊形.
∵AO=OD,
∴四邊形ABDO是菱形.
∵sinC=AB:AC=1:2,
∴∠C=30°,OD=AB,AB=2,AC=4,AP=ACtan30°=4.
∵點O,H分別是AC,BC的中點,
∴OH=AB=,DH=OD-OH=
∵PA是切線,PBC是割線,
∴PA2=PB•PC=PB(PB+BC).
∴PB=2.
∴PH=PB+BH=5.
∴tan∠DPC=DH:PH=
點評:本題考查圓周角定理,相似三角形的判定和性質(zhì),垂徑定理,角的平分線定理,平行四邊形和菱形的判定等知識點的綜合運用.
練習冊系列答案
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如圖1,半圓O為△ABC的外接半圓,AC為直徑,D為
BC
上的一動點.
(1)問添加一個什么條件后,能使得
BD
BC
=
BE
BD
?請說明理由;
(2)若AB∥OD,點D所在的位置應(yīng)滿足什么條件?請說明理由;
(3)如圖2,在(1)和(2)的條件下,四邊形AODB是什么特殊的四邊形?證明你的結(jié)論.精英家教網(wǎng)

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(2)當其它條件不變時,問添加一個什么條件后,有BD2=BE•BC成立?說明理由;
(3)如圖ii,在滿足(2)問的前提下,若OD⊥BC精英家教網(wǎng)與H,BE=2,EC=4,連接PD,請?zhí)骄克倪呅蜛BDO是什么特殊的四邊形,并求tan∠DPC的值.

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