若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如菱形就是和諧四邊形.
(1)如圖1, 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC.求證:BD是梯形ABCD的和諧線;
(2)如圖2,在12×16的網(wǎng)格圖上(每個小正方形的邊長為1)有一個△ABC,點A、B、C均在格點上,請在給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D,使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線,并畫出相應的和諧四邊形;
(3)四邊形ABCD中 ,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四邊 形ABCD的和諧線,求∠BCD的度數(shù).
(1)證明見解析;(2)作圖見解析;(3)135°,90°或45°.

試題分析:(1)要證明BD是四邊形ABCD的和諧線,只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以;
(2)根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點到頂點的距離相等,只要D在中點時構成的四邊形ABDC就是和諧四邊形;連接BC,在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD,構成的四邊形ABCD就是和諧四邊形,
(3)由AC是四邊形ABCD的和諧線,可以得出△ACD是等腰三角形,從圖4,圖5,圖6三種情況運用等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù).
試題解析:(1)∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADB=∠DBC.
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=60°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=30°,
∴∠ABD=∠ADB,
∴△ADB是等腰三角形.
在△BCD中,∠C=75°,∠DBC=30°,
∴∠BDC=∠C=75°,
∴△BCD為等腰三角形,
∴BD是梯形ABCD的和諧線;
(2)由題意作圖為:圖2,圖3

(3)∵AC是四邊形ABCD的和諧線,
∴△ACD是等腰三角形.
∵AB=AD=BC,
如圖4,當AD=AC時,
∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形,
∴∠BAC=∠BCA=60°.
∵∠BAD=90°,
∴∠CAD=30°,

∴∠ACD=∠ADC=75°,
∴∠BCD=60°+75°=135°.
如圖5,當AD=CD時,
∴AB=AD=BC=CD.
∵∠BAD=90°,
∴四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°
如圖6,當AC=CD時,過點C作CE⊥AD于E,過點B作BF⊥CE于F,
∵AC=CD.CE⊥AD,
∴AE=AD,∠ACE=∠DCE.
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,
∴四邊形ABFE是矩形.
∴BF=AE.
∵AB=AD=BC,
∴BF=BC,
∴∠BCF=30°.
∵AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC.
∵AB∥CE,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°,
∴∠BCD=15°×3=45°.
練習冊系列答案
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請解決下列問題:
(1)仿照以上敘述,說明什么是一個三角形的“友好矩形”;
(2)若△ABC是鈍角三角形,則△ABC顯然只有一個“友好矩形”, 若△ABC是直角三角形,其“友好矩形”有           個;
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