Question

如圖，已知點A（0，4）、B（4，1），BC⊥x軸于點C，點P為線段OC上一點，且PA⊥PB．
（1）求點P的坐標；
（2）求過點A、B、P三點的拋物線的解析式；
（3）點D與點A、B、C三點構(gòu)成平行四邊形，把（2）中的拋物線向上或向下平移多少個單位長度后所得的拋物線經(jīng)過點D？請直接寫出點D的坐標及相應(yīng)平移方向與平移距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用垂直的性質(zhì)首先得出∠1=∠2，進而得出△BCP∽△POA，根據(jù)=，求出OP的長即可得出P點坐標；
（2）利用點A，B，P三點的坐標，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax ²+bx+c，即可得出答案；
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)分別利用當AB=PD₁，AB∥PD₁，當AP=BD₂，AP∥BD₂，當AB=PD₃，AB∥PD₃，求出D點坐標，進而得出平移距離．
解答：解：（1）如圖1所示：
∵PA⊥PB，
∴∠2+∠3=90°，
∵AO⊥x軸，
∴∠1=∠2，
又∵BC⊥x軸，AO⊥x軸，
∴∠BCP=∠POA=90°，
∴△BCP∽△POA，
∴=，
∵點A（0，4）、B（4，1），
∴AO=4，BC=1，OC=4，
∴=，
解得：OP=2，
∴P（2，0）；

（2）設(shè)過點A，B，P三點的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
∵點A（0，4）、B（4，1），
∴，
解得：，
故拋物線解析式為：y=x ²-x+4；

（3）如圖2所示：當AB=PD₁，AB∥PD₁，此時AD₁PB是平行四邊形，AD₁=PB=1，AO=4，則OD₁=3，
故D₁（0，3），利用拋物線過點A，則拋物線向下平移1個單位即可過點D₁；
當AP=BD₂，AP∥BD₂，此時AD₂BP是平行四邊形，AD₂=PB=1，AO=4，則OD₂=5，
故D₂（0，5），利用拋物線過點A，則拋物線向上平移1個單位即可過點D₂；
當AB=PD₃，AB∥PD₃，此時APD₃B是平行四邊形，PD₃=AB=5，A點和D₃點到PB距離相等為4，則點D₃到x軸距離為3，
故D₃（8，-3），∵y=x ²-x+4=（x-）²-，
∴設(shè)拋物線向下平移h個單位，則過點（8，-3），故-3=（8-）²--h，
解得：h=21，
故拋物線向下平移21個單位即可過點D₃．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)和圖象的平移等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出P點坐標以及D點位置是解題關(guān)鍵．