Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在腰AB上有一動點P．
（1）連接DP、CP，使得△PAD與△PBC相似，求出此時AP的長；
（2）若點P在直線AB上運動則滿足上述條件的P共有______個；
（3）在直線AB上存在一點M，使得△DMC周長最小，直接寫出AM的長，并求出△DMC的周長．

Answer 1

解：（1）分兩種情況：
①如果△PAD∽△PBC，
則PA：PB=AD：BC=2：3，
又PA+PB=AB=7，
∴AP=7×2÷5=2.8；
②如果△PAD∽△CBP，
則PA：BC=AD：BP，
即PA•PB=2×3=6，
又∵PA+PB=AB=7，
∴PA、PB是一元二次方程x²-7x+6=0的兩根，
解得x₁=1，x₂=6，
∴AP=1或6．
綜上，可知AP=2.8或1或6．

（2）若點P在直線AB上運動則滿足上述條件的P共有6個；

（3）延長CB到C′，使C′B=CB，連接DC′，交AB于點M．
此時△DMC周長最小，AM=2.8．
在△ADM中，∠A=90°，AD=2，AM=2.8，∴DM=，
在△BCM中，∠B=90°，BC=3，BM=4.2，∴CM=
CD==5
故△DMC的周長=DM+CM+CD=+5．
分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分情況討論得出AP的長．
（2）由（1）得出滿足上述條件的P共有6個；
（3）由（1）得出AM的長，根據(jù)兩點之間線段最短得出△DMC最小的周長．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，同時考查了軸對稱-最短路線問題，難度較大．