Question

在△ABC中，∠B=90°，AB=7，AC=25，BC=24，△ABC內是否存在一點P到各邊距離相等？如果有，請寫出點P并求出這個距離．

Answer 1

解：過點C作∠ACB的角平分線，再過點B作∠ABC的角平分線，過點A作∠CAB的角平分線，
三條角平分線交于一點，就是點P；
過點P分別向△ABC的三邊做垂線段PE、PF、PD，連接AP，
∵CP平分∠ACB，PD⊥AC，PF⊥BC，
∴PD=PF，
又∵CP=CP，
∴Rt△CDP≌Rt△CFP，
∴CD=CF，
同理有AD=AE，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PFB=∠PEB=∠ABC=90°，
∴四邊形PEBF是矩形，
又∵PE=PF，
∴四邊形PEBF是正方形，
設PE=x，
∵AE=AD=7-x，
∴CF=CD=25-（7-x）=18+x，
又∵CF=24-x，
∴18+x=24-x，
解得x=3，
故距離是3．
分析：有．過點C作∠ACB的角平分線，再過點B作∠ABC的角平分線，過點A作∠CAB的角平分線，三條角平分線交于一點，就是點P；
再過點P分別向△ABC的三邊做垂線段PE、PF、PD，連接AP，由于PE⊥AB，PF⊥BC，那么易知∠PFB=∠PEB=∠ACB=90°，可知四邊形PEBF是矩形，結合角平分線的性質有PE=PF，可證四邊形PEBF是正方形，設PE=x，再用x的代數(shù)式表示CD，CF，從而可得關于x的方程，解即可．
點評：本題考查了角平分線的性質、矩形和正方形的判定和性質、直角三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是知道AD=AE，CD=CF，并能證明四邊形PEBF是正方形．