【題目】如圖,在△ABC 中,點P是AC邊上的一點,過點P作與BC平行的直線PQ,交AB于點Q,點D在線段 BC上,聯(lián)接AD交線段PQ于點E,且 = ,點G在BC延長線上,∠ACG的平分線交直線PQ于點F.
(1)求證:PC=PE;
(2)當P是邊AC的中點時,求證:四邊形AECF是矩形.
【答案】
(1)證明:∵PQ∥BC,
∴△AQE∽△ABD,△AEP∽△ADC,
∴ = , ,
∴ = ,
∵ = ,
∴ = ,
∴PC=PE;
(2)解:∵PF∥DG,
∴∠PFC=∠FCG,
∵CF平分∠PCG,
∴∠PCF=∠FCG,
∴∠PFC=∠FCG,
∴PF=PC,
∴PF=PE,
∵P是邊AC的中點,
∴AP=CP,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵PQ∥CD,
∴∠PEC=∠DCE,
∴∠PCE=∠DCE,
∴∠PCE+∠PCF= (∠PCD+∠PCG)=90°,
∴∠ECF=90°,
∴平行四邊形AECF是矩形.
【解析】(1)根據相似三角形的性質得到 = , ,等量代換得到 = ,推出 = ,于是得到結論;(2)根據平行線的性質得到∠PFC=∠FCG,根據角平分線的性質得到∠PCF=∠FCG,等量代換得到∠PFC=∠FCG,根據等腰三角形的性質得到PF=PC,得到PF=PE,由已知條件得到AP=CP,推出四邊形AECF是平行四邊形,于是得到結論.
【考點精析】關于本題考查的矩形的判定方法和相似三角形的判定與性質,需要了解有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形;有三個角是直角的四邊形是矩形;兩條對角線相等的平行四邊形是矩形;相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案.
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【題目】如圖所示,某中學九年級數學活動小組選定測量學校前面小河對岸大樹BC的高度,他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°,朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處,在A處測得大樹頂端B的仰角是48°.若斜坡FA的坡比i=1: ,求大樹的高度.(結果保留一位小數)參考數據:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11, 取1.73.
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【題目】三角板是學習數學的重要工具,將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點按如圖方式疊放在一起,當且點在直線的上方時,解決下列問題:(友情提示:,,.
(1)①若,則的度數為 ;
②若,則的度數為 ;
(2)由(1)猜想與的數量關系,并說明理由.
(3)這兩塊三角板是否存在一組邊互相平行?若存在,請直接寫出的角度所有可能的值(不必說明理由);若不存在,請說明理由.
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【題目】解答題
(1)如圖1,在正方形ABCD中,點O是對角線AC的中點,點E是邊BC上一點,連接OE,過點O作OE的垂線交AB于點F.求證:OE=OF.
(2)若將(1)中,“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”,其他條件不變,如圖2,連接EF. 。┣笞C:∠OEF=∠BAC.
ⅱ)試探究線段AF,EF,CE之間數量上滿足的關系,并說明理由.
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【題目】雅安地震,牽動著全國人民的心,地震后某中學舉行了愛心捐款活動,圖是根據該校九年級某班學生為雅安災區(qū)捐款情況繪制的不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.
(1)求該班學生總人數;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校九年級有800人,據此樣本,請你估計該校九年級學生共捐款多少元.
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【題目】如圖,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉得到△EBD,點E、點D分別與點A、點C對應,且點D在邊AC上,邊DE交邊AB于點F,△BDC∽△ABC.已知BC= ,AC=5,那么△DBF的面積等于 .
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【題目】解決問題:
一輛貨車從超市出發(fā),向東走了3千米到達小彬家,繼續(xù)走2.5千米到達小穎家,然后向西走了10千米到達小明家,最后回到超市.
(1)以超市為原點,以向東的方向為正方向,用1個單位長度表示1千米,在數軸上表示出小明家,小彬家,小穎家的位置.
(2)小明家距小彬家多遠?
(3)貨車一共行駛了多少千米?
(4)貨車每千米耗油0.2升,這次共耗油多少升?
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