Question

如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，AP=AC．
（1）若∠B=60°．求證：AP是⊙O的切線；
（2）若點B是弧CD的中點，AB交CD于點E，CD=4，求BE•AB的值．

Answer 1

（1）證明：連接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直徑，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA為半徑，
∴AP是⊙O切線．

（2）解：連接AD，BD，
∵CD是直徑，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，
∴BD=BC==2，
∵B為弧CD中點，
∴BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB，
∵∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴=，
∴BE•AB=BD•BD=2×2=8．
分析：（1）求出∠ADC的度數(shù)，求出∠P、∠ACO、∠OAC度數(shù)，求出∠OAP=90°，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）求出BD長，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．
點評：本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形性質和判定，相似三角形的性質和判定，切線的判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．