(2009•撫順)如圖所示,已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)尺規(guī)作圖:作∠BAC的平分線AM交BC于點(diǎn)D(只保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)所作圖形中,將Rt△ABC沿某條直線折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,折痕EF交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DE、DF,再展回到原圖形,得到四邊形AEDF.
①試判斷四邊形AEDF的形狀,并證明;
②若AC=8,CD=4,求四邊形AEDF的周長和BD的長.

【答案】分析:(1)按作角的平分線步驟作即可;
(2)由題意和已知可知EF是線段AD的垂直平分線,AD是∠BAC的平分線,再證明△AEG≌△AFG,易得四邊相等,所以四邊形AEDF是菱形;②在Rt△ECD中,根據(jù)勾股定理求得DE的值,則AE=DE,即可求得周長;求BD的長,可證明△BFD∽△BAC,根據(jù)比例線段求得.
解答:解:(1)如圖,(1分)
寫出結(jié)論:射線AM就是所要求的角平分線;(2分)

(2)①四邊形AEDF是菱形.(3分)
證明:如圖,
根據(jù)題意,可知EF是線段AD的垂直平分線,
則AE=ED,AF=FD,∠AGE=∠AGF=90°,
由(1)可知,AD是∠BAC的平分線,
∴∠EAD=∠DAF.
∵∠AGE=∠AGF,AG=AG,
∴△AEG≌△AFG.(4分)
∴AE=AF∴AE=ED=DF=AF.
∴四邊形AEDF是菱形.(5分)
②設(shè)AE=x,則ED=x,CE=8-x,
在Rt△ECD中,42+(8-x)2=x2
解得x=5,∴4x=20.
即四邊形AEDF的周長是20.(7分)
由①可知,四邊形AEDF是菱形,
∴FD∥AC,
∴△BFD∽△BAC,
,(8分)
,
解得
即BD的長是.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圖形的折疊與拼接,同時(shí)考查了三角形、四邊形等幾何基本知識(shí),解題時(shí)應(yīng)分別對(duì)每一個(gè)圖形進(jìn)行仔細(xì)分析.
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(1)求⊙O的半徑長;
(2)求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)

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①試判斷四邊形AEDF的形狀,并證明;
②若AC=8,CD=4,求四邊形AEDF的周長和BD的長.

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(2)求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)

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