如圖,在某氣象站M附近海面有一臺風(fēng),據(jù)監(jiān)測,當前臺風(fēng)中心位于氣象站M的東偏南θ方向100千米的海面P處,并以20千米/小時的速度向西偏北45°方向移動,臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)精英家教網(wǎng)域,當前半徑為20千米,并以10千米/小時的速度不斷增大,已知cosθ=
2
10
,問:
(1)臺風(fēng)中心幾小時移到氣象站M正南N處,此時氣象站M是否受臺風(fēng)侵襲?
(2)幾小時后該氣象站開始受臺風(fēng)的侵襲?
分析:(1)延長MN交PQ于點A,用三角函數(shù)的定義可求出AM的長,由于∠APN=45°,故AN=AP=10
2
.MN=70
2
-10
2
=60
2
,PN=10
2
2
=20.根據(jù)路程,速度,時間的關(guān)系即可求解.
(2)設(shè)經(jīng)t小時后該氣象站開始受臺風(fēng)侵襲,且此時臺風(fēng)中心為B處,連接BM,作BQ⊥PQ,BD⊥AM,垂足分別為Q,D,則PB=20t,BM=20+10t.用三角函數(shù)的定義用含t的代數(shù)式分別表示BD、MD,再在直角三角形BDM中運用勾股定理即可求出t的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)延長MN交PQ于點A.
在Rt△MPA中,∵∠MPA=θ,MP=100,
∴AP=MP•cosθ=100×
2
10
=10
2
,
AM=
MP2-AP2
=
1002-(10
2
)
2
=70
2

∵∠APN=45°,∠NAP=90°,
∴∠APN=∠ANP=45°,
∴AN=AP=10
2

∴MN=AM-AN=70
2
-10
2
=60
2

PN=
2
AN=10
2
2
=20.
∴t=20÷20=1.
臺風(fēng)半徑r=20+10×1=30<60
2

答:臺風(fēng)中心1小時移動到氣象站M正南N處,此時氣象站M不受臺風(fēng)侵襲.

(2)設(shè)經(jīng)t小時后該氣象站開始受臺風(fēng)侵襲,且此時臺風(fēng)中心為B處.
連接BM,作BQ⊥PQ,BD⊥AM,垂足分別為Q,D.
由題意知,PB=20t,BM=20+10t.
PQ=BQ=PB•sin45°=10
2
t.
∴BD=QP-AP=10
2
t-10
2
,MD=AM-BQ=70
2
-10
2
t.
由BD2+DM2=BM2,得(10
2
t-10
2
2+(70
2
-10
2
t)2=(20+10t)2
整理,得t2-12t+32=0,
解得t1=4,t2=8(不合題意,舍去).
答:4小時后該氣象站開始受臺風(fēng)侵襲.
點評:本題是一道生活聯(lián)系實際的題目,在解答此類題目時要注意構(gòu)造出直角三角形,把一般三角形的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形,利用解直角三角形的知識解答.
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(1)臺風(fēng)中心幾小時移到氣象站M正南N處,此時氣象站M是否受臺風(fēng)侵襲?
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