Question

已知⊙P的圓心坐標(biāo)為（1.5，0），半徑為2.5，⊙P與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D．
（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在以線段EF為直徑的圓O'恰好與⊙P相外切？若存在，求出其半徑r及圓心O'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了圓心P坐標(biāo)即圓P的半徑，不難得出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)相交弦定理的推論，可得出OD²=OA•OB，即可求出OD的長(zhǎng)，也就得出了D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知了A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性可知：圓心O′和圓心P必在拋物線的對(duì)稱軸上．本題應(yīng)該分兩種情況：①圓O′在x軸上方；②圓O′在x軸下方；解法一致：都是根據(jù)兩圓外切的特點(diǎn)進(jìn)行求解，由于兩圓外切，那么圓心O′的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值就是兩圓半徑之和，可設(shè)出圓O′的半徑，然后用圓O′的半徑，表示出E或F的坐標(biāo)，然后將E或F的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得圓O′的半徑長(zhǎng)，也就可得出圓心O′的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知，得OA=1，OB=4，
∴OD²=OA•OB=1×4，OD=2
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2）；

（2）設(shè)過(guò)A、B、D三點(diǎn)多拋物線解析式為y=ax²+bx+c，把A（-1，0）、B（0，-2）的坐標(biāo)代入解析式，得：

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

∴

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

∴過(guò)點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)多拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（3）存在．配方y(tǒng)=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

拋物線的對(duì)稱軸為x=

3

2

，圓心O’應(yīng)在對(duì)稱軸上．分兩種情況：
①當(dāng)以線段EF為直徑的圓O′在x軸上方時(shí)，F(xiàn)（

3

2

+r，

5

2

+r）在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2上，
∴

5

2

+r=

1

2

（

3

2

+r）²-

3

2

（

3

2

+r）-2，
整理得4r²-8r-45=0，
解得r=

9

2

或r=-

5

2

（舍去）
∴半徑r=

9

2

．圓心O′（

3

2

，7）；
②當(dāng)以線段EF為直徑的圓O′在x軸下方時(shí)：F（

3

2

+r，-

5

2

-r）在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2上，
∴-

5

2

-r=

1

2

（

3

2

+r）²-

3

2

（

3

2

+r）-2，
整理得4r²+8r-5=0，
解得r=

1

2

或r=-

5

2

（舍去）
∴半徑r=

1

2

，圓心O′（

3

2

，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圓與圓的位置關(guān)系、拋物線與圓的對(duì)稱性等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．