Question

已知，如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD上的點(diǎn)，且BE+FD=EF．求證：∠EAF=∠BAD．

Answer 1

證明：把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠DAB的度數(shù)得到△ABG，AD旋轉(zhuǎn)到AB，AF旋轉(zhuǎn)到AG，如圖，
∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠B+∠ABG=180°，
∴點(diǎn)G、B、C共線，
∵BE+FD=EF，
∴BE+BG=GE=EF，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF，
∴∠EAG=∠EAF，
而∠BAG=∠DAF，
∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠BAD．
分析：把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠DAB的度數(shù)得到△ABG，AD旋轉(zhuǎn)到AB，AF旋轉(zhuǎn)到AG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，由∠B+∠D=180°得∠B+∠ABG=180°，即點(diǎn)G、B、C共線，而B(niǎo)E+FD=EF，則有GE=EF，根據(jù)三角形全等的判定方法易得△AEG≌△AEF，則∠EAG=∠EAF，而∠BAG=∠DAF，于是有∠EAB+∠DAF=∠EAF，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角線段，對(duì)應(yīng)線段線段；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．