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【題目】1)閱讀理解:課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:

在△ABC中,AB9AC5,求BC邊上的中線AD的取值范圍。

小明在組內經過合作交流,得到了如下的解決方法(如圖1):

①延長ADQ,使得DQAD;

②再連接BQ,把ABAC、2AD集中在△ABQ中;

③利用三角形的三邊關系可得4<AQ<14,則AD的取值范圍是_____________。

感悟:解題時,條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等條件,可以考慮倍長中線,構造全等三角形,把分散的己知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中。

2)請你寫出圖1ACBQ的位置關系并證明。

3)思考:已知,如圖2,AD是△ABC的中線,ABAE,ACAF,∠BAE=∠FAC90°。試探究線段ADEF的數量和位置關系并加以證明。

【答案】12AD7;(2ACBQ,理由見解析;(3EF2AD,ADEF,理由見解析

【解析】

1)先判斷出BDCD,進而得出QDB≌△ADCSAS),得出BQAC5,最后用三角形三邊關系即可得出結論;

2)由(1)知,QDB≌△ADCSAS),得出∠BQD=∠CAD,即可得出結論;

3)同(1)的方法得出BDQ≌△CDASAS),則∠DBQ=∠ACD,BQAC,進而判斷出∠ABQ=∠EAF,進而判斷出ABQ≌△EAF,得出AQEF,∠BAQ=∠AEF,即可得出結論.

解:(1)延長ADQ使得DQAD,連接BQ,

ADABC的中線,

BDCD,

QDBADC中, ,

∴△QDB≌△ADCSAS),

BQAC5

ABQ中,ABBQAQAB+BQ,

4AQ14,

2AD7,

故答案為:2AD7

2ACBQ,理由:由(1)知,QDB≌△ADC,

∴∠BQD=∠CAD

ACBQ;

3EF2AD,ADEF,

理由:如圖2,延長ADQ使得BQAD,連接BQ,

由(1)知,BDQ≌△CDASAS),

∴∠DBQ=∠ACD,BQAC,

ACAF,

BQAF,

ABC中,∠BAC+ABC+ACB180°

∴∠BAC+ABC+DBQ180°,

∴∠BAC+ABQ180°,

∵∠BAE=∠FAC90°

∴∠BAC+EAF180°,

∴∠ABQ=∠EAF

ABQEAF中, ,

∴△ABQ≌△EAF,

AQEF,∠BAQ=∠AEF,

延長DAEFP,

∵∠BAE90°,

∴∠BAQ+EAP90°

∴∠AEF+EAP90°,

∴∠APE90°

ADEF,

ADDQ,

AQ2AD,

AQEF,

EF2AD,

即:EF2ADADEF

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