Question

如圖所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線AM交BC于點(diǎn)D（只保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作圖形中，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕EF交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接DE、DF，再展回到原圖形，得到四邊形AEDF．①試判斷四邊形AEDF的形狀，并證明；②若AC=8，CD=4，求四邊形AEDF的周長．

Answer 1

（1）如圖，
寫出結(jié)論：射線AM就是所要求的角平分線；

（2）①四邊形AEDF是菱形．
證明：如圖，
根據(jù)題意，可知EF是線段AD的垂直平分線，
則AE=ED，AF=FD，∠AGE=∠AGF=90°，
由（1）可知，AD是∠BAC的平分線，
∴∠EAD=∠DAF．
∵∠AGE=∠AGF，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG．
∴AE=AF∴AE=ED=DF=AF．
∴四邊形AEDF是菱形．

②設(shè)AE=x，則ED=x，CE=8-x，
在Rt△ECD中，4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，故4x=20．
即四邊形AEDF的周長是20．