Question

在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分線．求證：AC=AB+BD．

Answer 1

解：在AC上截取AE=AB，連接DE，如圖所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD，
在△AED和△ABD中，
，
∴△AED≌△ABD（SAS），
∴ED=BD，∠AED=∠B，
∵∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C，
又∠AED為△CED的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴EC=ED，
∴EC=BD，
則AC=AE+EC=AB+BD．
分析：在AC上截取AE=AB，連接DE，由AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由AD為公共邊，利用SAS可得出三角形AED與三角形ABD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得ED=BD，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠B，由∠B=2∠C，等量代換得到∠AED=2∠C，又∠AED為三角形ECD的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠AED等于兩角之和，可得出∠C=∠EDC，根據(jù)等角對(duì)等邊可得出EC=DE，等量代換得到EC=BD，由AC=AE+EC，等量代換可得證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了等量代換的思想，其中全等三角形的判定方法為：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時(shí)，要注意公共角及公共邊，對(duì)頂角相等等隱含條件的運(yùn)用．