Question

動(dòng)手操作：

如圖①，把長(zhǎng)為l、寬為h的矩形卷成以AB為高的圓柱形，則點(diǎn)A^′與點(diǎn)

A

重合，點(diǎn)B′與B′點(diǎn)

B

重合；
探究發(fā)現(xiàn)：
如圖②，圓柱的底面周長(zhǎng)是40，高是30，若在圓柱體的側(cè)面繞一圈絲線作裝飾，從下底面A出發(fā)，沿圓柱側(cè)面繞一周到上底面B，則這條絲線最短的長(zhǎng)度是

50

；
實(shí)踐與應(yīng)用：
如圖③，圓錐的母線長(zhǎng)為4，底面半徑為

4

3

，若在圓錐體的側(cè)面繞一圈彩帶做裝飾，從圓錐的底面上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞一周回到點(diǎn)A．求這條彩帶最短的長(zhǎng)度是多少？
拓展聯(lián)想：
如圖④，一顆古樹上下粗細(xì)相差不大，可以看成圓柱體．測(cè)得樹干的周長(zhǎng)為3米，高為18米，有一根紫藤自樹底部均勻的盤繞在樹干上，恰好繞8周到達(dá)樹干的頂部，你能求出這條紫藤至少有多少米嗎？

Answer 1

分析：容易得出點(diǎn)A與點(diǎn)A′，B與B′重合；
矩形的對(duì)角線即為這條絲線最短的長(zhǎng)度，由勾股定理即可得出答案；
連接AA′，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得出圓心角的度數(shù)，由勾股定理可得出AA′；
將大樹近似的看作圓柱將其展開，可得出紫藤的最短長(zhǎng)度．

解答：解：動(dòng)手操作：易得點(diǎn)A與點(diǎn)A′，B與B′重合；
探究與發(fā)現(xiàn)：圓柱的底面周長(zhǎng)是矩形的長(zhǎng)，
∵圓柱的底面周長(zhǎng)是40，高是30，
∴矩形的對(duì)角線為50，
∴這條絲線最短的長(zhǎng)度是 50，
實(shí)踐與應(yīng)用：
連接AA′，
∵底面周長(zhǎng)為

8

3

π，∴弧長(zhǎng)=

nπ×4

180

=

8

3

π，
∴n=120°即∠AOA′=120°，
∴∠A=30°，
作OB⊥AA′于B，在Rt△OBA中，
∵OA=4，∴OB=2，
∴AB=2

3

，
∴AA′=4

3

；
拓展聯(lián)想：
方法一：如圖，紫藤的長(zhǎng)為：

182+(3×8)2

=30米；
方法二：紫藤繞樹干的周長(zhǎng)為：

( 18 8 )2+32

=

15

4

，
則8周的周長(zhǎng)為：8×

15

4

=30米，
故答案為A，B，50．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算、圓柱的計(jì)算以及其實(shí)際應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)難度偏大．