Question

某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=-

1

20

x2+c且過頂點(diǎn)C（0，5）（長度單位：m）
（1）現(xiàn)因搞慶典活動，計劃沿拱橋的臺階表面鋪設(shè)一條寬度為1.5m的地毯，地毯的價格為20元/m²，求購買地毯需多少元？
（2）在拱橋加固維修時，搭建的“腳手架”為矩形EFGH（H、G分別在拋物線的左右側(cè)上），并增加鋪設(shè)斜面EG和HF，已知矩形EFGH的周長為27.5m，求增加斜面的長．

Answer 1

分析：（1）求出拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，AB的長度即可求得，再由已知頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)求得地毯的總長度，進(jìn)一步求得面積解決問題；
（2）設(shè)出拋物線點(diǎn)G的坐標(biāo)，分別表示出矩形的長和寬，并利用矩形的周長求得長和寬，進(jìn)一步利用矩形的性質(zhì)及勾股定理解答問題．

解答：解：（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)C（0，5），c=5，所以O(shè)C=5，
令y=0，即-

1

20

x2+5=0，
解得x₁=10，x₂=-10，
∴AB=10-（-10）=20，
∴地毯的總長度為：AB+2OC=20+2×5=30，
∴30×1.5×20=900（元）．
答：購買地毯需要900元．

（2）設(shè)G的坐標(biāo)為(m，-

1

20

m2+5)，其中m＞0，
則EF=2m，GF=-

1

20

m2+5．
由已知得：2（EF+GF）=27.5，
即2(2m-

1

20

m2+5)=27.5，
解得：m₁=5，m₂=35（不合題意，舍去），
把m₁=5代入-

1

20

m2+5=-

1

20

×52+5=3.75．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（5，3.75）．
∴EF=10，GF=3.75；
∴EG=

EF2+FG2

=

102+3.752

=

5 73

4

，
又∵EG=HF，
∴EG+HF=

5 73

2

．
答：斜面的長為

5 73

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，是一道數(shù)形結(jié)合的好題．