Question

已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10
（1）如圖①，△ABC的面積=

60

，腰AC上的高BD=

120

13

；
（2）如圖②，P是底邊BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，連接AP，不難發(fā)現(xiàn)：△ABP的面積+△ACP的面積=△ABC的面積，據(jù)此式，你能求出PE+PF等于多少嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？
（3）如圖③四邊形BCGH是形狀、大小一定的等腰梯形，點(diǎn)P是下底BC上一動點(diǎn)，試問：點(diǎn)P到兩腰的距離之和是否為一定值？簡述理由．

Answer 1

分析：（1）首先過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得高AE的長，繼而求得三角形的面積，則可求得高BD的長；
（2）由△ABP的面積+△ACP的面積=△ABC的面積，即可得PE+PF=BD，可得規(guī)律：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高；
（3）分別延長BH、CG，交點(diǎn)為A，由等腰梯形得：等腰△ABC，由上題可知：PE+PF等于點(diǎn)B到直線CG的距離．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，
∴BE=

1

2

BC=5，
∴AE=

AB2-BE2

=12，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AE=60，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BD，
∴BD=

2S△ABC

AC

=

120

13

；
故答案為：60，

120

13

；

（2）連接AP，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF=60，
∵AB=AC=13，
∴PE+PF=

120

13

；
結(jié)論：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高；

（3）點(diǎn)P到兩腰的距離之和為一定值．
理由：分別延長BH、CG，交點(diǎn)為A，過點(diǎn)B作BD⊥CG于點(diǎn)D，
∵梯形BCGH是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BD，S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC=

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF=

1

2

AC•（PE+PF），
∴PE+PF=BD．
即PE+PF等于點(diǎn)B到直線CG的距離．

點(diǎn)評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．