Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）經(jīng)過(guò)幾秒鐘，點(diǎn)P、Q之間的距離為5cm？
（2）連接PD，是否存在某一時(shí)刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，可得出DF=4，再由勾股定理得出AF，從而計(jì)算出QE，根據(jù)AP=2t，CQ=t，則PE=6-3t，在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理可求得t的值，再由0≤t≤3，求出點(diǎn)P、Q之間的距離；
（2）假設(shè)存在某一時(shí)刻，使得PD恰好平分∠APQ，則∠APD=∠DPQ，由AB∥CD，則∠APD=∠PDQ，∠PDQ=∠DPQ，從而得出DQ=PQ，根據(jù)勾股定理可求得t，由t的取值范圍再得出結(jié)論．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F．
∵AB=CF=6，CD=10，
∴DF=4．
在Rt△ADF中，AF=

AD2-DF2

=3，
∴QE=AF=3，
∵AP=2t，CQ=t，
∴PE=6-3t
在Rt△PEQ中，∵PE²+EQ²=PQ²，
∴（6-3t）²+3²=5²，
∴t=

2

3

或t=

10

3

…（2分）
∵0≤t≤3，
∴t=

10

3

舍去
∴經(jīng)過(guò)

2

3

秒鐘，點(diǎn)P、Q之間的距離為5cm   …（3分）；
                
（2）假設(shè)存在某一時(shí)刻，使得PD恰好平分∠APQ，則∠APD=∠DPQ．
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠PDQ，
∴∠PDQ=∠DPQ，
∴DQ=PQ      …（4分）
∵PQ²=3²+（3t-6）²，DQ²=（10-t）²，
∴3²+（6-3t）²=（10-t）²…（6分）
解得t₁=1+

3 14

4

，t₂=1-

3 14

4

…（7分）
∵0＜t≤3，
∴兩解均舍去，
∴不存在某一時(shí)刻，使得PD恰好平分∠APQ…（8分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程、勾股定理以及直角梯形，是一道綜合題，難度較大．