Question

【題目】如圖（1）所示，已知四邊形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，且點(diǎn)A為線段SD的中點(diǎn)，AD=2DC=1，AB=SD，現(xiàn)將△SAB沿AB進(jìn)行翻折，使得二面角S﹣AB﹣C的大小為90°，得到的圖形如圖（2）所示，連接SC，點(diǎn)E、F分別在線段SB、SC上．
（1）證明：BD⊥AF；
（2）若三棱錐B﹣AEC的體積是四棱錐S﹣ABCD體積的 ，求點(diǎn)E到平面ABCD的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，

二面角S﹣AB﹣C的大小為90°，

∴SA⊥AD，

又SA⊥AB，AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD，

又BD平面ABCD，∴SA⊥BD，

在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

AD=2CD=1，AB=2，

∴tan∠ABD=tan∠CAD= ，

又∠DAC+∠BAC=90°，

∴∠ABD+∠BAC=90°，即AC⊥BD，

又AC∩SA=A，∴BD⊥平面SAC，

∵AF平面SAC，∴BD⊥AF．

（2）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ABCD的距離為h，

∵VB﹣AEC=VE﹣ABC，且 = ，

∴ = = = ，

解得h= ，

∴點(diǎn)E到平面ABCD的距離為 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出SA⊥AD，SA⊥AB，從而SA⊥平面ABCD，進(jìn)而SA⊥BD，再求出AC⊥BD，由此得到BD⊥平面SAC，從而能證明BD⊥AF．（2）設(shè)點(diǎn)E到平面ABCD的距離為h，由VB﹣AEC=VE﹣ABC ， 且 = ，能求出點(diǎn)E到平面ABCD的距離．
【考點(diǎn)精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．