Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=

5

，BC=2．現(xiàn)分別任作△ABC的內(nèi)接矩形P₁Q₁M₁N₁，P₂Q₂M₂N₂，P₃Q₃M₃N₃，設(shè)這三個(gè)內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)分別為c₁、c₂，c₃，則c₁+c₂+c₃的值是（　　）

• A．6
• B．6+3

  5

• C．12
• D．6

  5

Answer 1

分析：首先過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性質(zhì)，可得BD=CD=

1

2

BC=1，∠B=∠C，由勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，又可證得△BN₁P₁∽△BAD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可證得N₁P₁=2BP₁，又由△BP₁N₁≌△CQ₁M₁（AAS），BP₁=CQ₁，則可求得c₁的值，同理可求得c₂，c₃的值，繼而求得答案．

解答：解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=

5

，BC=2，
∴BD=CD=

1

2

BC=1，∠B=∠C，
∴AD=

AB2-BD2

=2，
∵四邊形P₁Q₁M₁N₁是矩形，
∴P₁Q₁=M₁N₁，N₁P₁=M₁Q₁，N₁P₁⊥BC，
∴N₁P₁∥AD，
∴△BN₁P₁∽△BAD，
∴BP₁：BD=N₁P₁：AD，
∴N₁P₁=2BP₁，
在△BP₁N₁和△CQ₁M₁中，
∵

∠B=∠C ∠BP1N1=∠CQ1M1=90° N1P1=M1Q1

，
∴△BP₁N₁≌△CQ₁M₁（AAS），
∴BP₁=CQ₁，
∴c₁=N₁P₁+P₁Q₁+M₁Q₁+M₁N₁=2BP₁+2P₁Q₁+2BP₁=2（BP₁+P₁Q₁+BP₁）=2（BP₁+P₁Q₁+CQ₁）=2BC=2×2=4，
同理：c₂=c₃=c₁=4．
∴c₁+c₂+c₃=12．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．