Question

如圖，△ABC的面積為1，D、E分別在AB，AC上，且DE∥BC，P在BC延長線上一點，則△DEP面積的最大值是

1

4

．

Answer 1

分析：設BC=a，DE=b，BC上的高=h，DE與BC的距離=x，利用三角形的面積公式和相似三角形的性質(zhì)：對應高之比等于相似比，和得到△DEP面積和DE之間的二次函數(shù)關系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值即可．

解答：解：設BC=a，DE=b，BC上的高=h，DE與BC的距離=x，
∵△ABC的面積為1，即

1

2

ah=1，
∴ah=2，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

h-x

h

，
即

b

a

=

h-x

h

∴x=

2h-h 2b

2

，
∴S_△DEP=

1

2

b×x=

1

2

b•

2h-h 2b

2

=-

1

4

h²b²+

1

2

bh，
∵△ABC的高h是一定值，
∴S_△DEP是邊DE的二次函數(shù)，
∵二次項系數(shù)為-

1

4

，
∴函數(shù)有最大值為：s=

4×(- 1 4 h 2)×0-( 1 2 h) 2

4×(- 1 4 h 2)

=

1

4

，
故答案為：

1

4

點評：本題考查了三角形的面積最值的問題，解題的關鍵是建立面積和邊（或高）的二次函數(shù)關系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值即可．