Question

如圖，經過x軸上A（-1，0）、B（3，0）兩點的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）交y軸的正半軸于點C，設拋物線的頂點為D．
（1）用含a的代數式表示出點C、D的坐標；
（2）若∠BCD=90°，請確定拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，能否在拋物線上找到另外的點Q，使△BDQ為直角三角形？如果能，請直接寫出點Q的坐標；如不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可得到a、b、c的關系式，進而可得到C、D的坐標．
（2）根據B、C、D三點坐標，分別表示出BC²、CD²、BD²的值，若∠BCD=90°，則由勾股定理可得BC²+CD²=BD²，從而可求得a的值和拋物線的解析式．
（3）根據B、D的坐標可得直線BD的解析式，若△BDQ是直角三角形，則有兩種情況需要討論：
①D是直角頂點，此時QD⊥BD，即兩條直線的斜率的積為-1，結合點D的坐標，即可求得直線QD的解析式，聯立拋物線的解析式，即可得到點Q的坐標；
②B是直角頂點，方法同①．

解答：解：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
則

b=-2a c=-3a

；
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a；
故D（1，-4a），C（0，-3a）．

（2）由于B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），則：
BD²=16a²+4，BC2=9a²+9，CD²=a²+1；
若∠BCD=90°，則：BD²=BC²+CD²，即：
16a²+4=9a²+9+a²+1，
解得a=-1（正值舍去），
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

（3）易知C（0，3），D（1，4）；
而B（3，0），
則直線BD：y=-2x+6；
①∠BDQ=90°，可設直線DQ：y=

1

2

x+m，則有：

1

2

+m=4，m=

7

2

；
即y=

1

2

x+

7

2

；
聯立拋物線的解析式有：

y= 1 2 x+ 7 2 y=-x2+2x+3

，
解得

x= 1 2 y= 15 4

，

x=1 y=4

；
∴點Q（

1

2

，

15

4

）；
②∠DBQ=90°，同理可設直線BQ：y=

1

2

x+n，
則：

3

2

+n=0，n=-

3

2

，
即y=

1

2

x-

3

2

；
聯立拋物線的解析式有：

y= 1 2 x- 3 2 y=-x2+2x+3

，
解得

x=- 3 2 y=- 9 4

，

x=1 y=4

；
∴點Q（-

3

2

，-

9

4

）；
綜上可知，存在符合條的Q點，且坐標為：Q1(-

3

2

，-

9

4

)，Q2(

1

2

，

15

4

)．

點評：此題考查了函數圖象上點的坐標意義、二次函數解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定等知識，要注意的是（3）題中，由于D、B都有可能是直角頂點，所以一定要分類討論，以免漏解．