Question

在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結(jié)論：①BG=CE ②BG⊥CE ③AM是△AEG的中線 ④∠EAM=∠ABC，其中正確結(jié)論的個數(shù)是

A．4個         B．3個        C．2個        D．1個

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG。

∵在△ABG和△AEC中，AB=AE，∠CAE=∠BAG，AC=AG，

∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG=CE。故①正確。

設(shè)BG、CE相交于點N，

∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE=∠AGB。

∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，

∴∠CNG=360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°﹣（180°+90°）=90°。

∴BG⊥CE。故②正確。

過點E作EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q，

∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°。

∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=180°﹣90°=90°�！唷螦BH=∠EAP。

∵在△ABH和△EAP中，∠ABH=∠EAP，∠AHB=∠P=90°，AB=AE，

∴△ABH≌△EAP（AAS）�！唷螮AM=∠ABC。故④正確。

∵△ABH≌△EAP，∴EP=AH。

同理可得GQ=AH�！郋P=GQ。

∵在△EPM和△GQM中，∠P=∠MQG=90°，∠EMP=∠GMQ，EP=GQ，

∴△EPM≌△GQM（AAS）�！郋M=GM�！郃M是△AEG的中線。故③正確。

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確。故選A。