Question

△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O為圓心，OB為半徑的圓與BC交于點D，DE⊥AC于E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）若AC與⊙O相切于F，AB=5，sinA=

3

5

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定與性質

專題：

分析：（1）先連接OD，根據(jù)OB=OD，得出∠ABC=∠ODB，再根據(jù)AB=AC，得出∠ABC=∠ACB，∠ODB=∠ACB，從而證出OD∥AC，再根據(jù)DE⊥AC，即可得出DE與⊙O的位置關系；
（2）根據(jù)切線的性質定理，連接過切點的半徑，運用銳角三角函數(shù)的定義，用半徑表示OA的長，再根據(jù)AB的長列方程求解．

解答：解：（1）DE與⊙O相切；
理由如下：
連接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC；
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切．

（2）⊙O與AC相切于F點，連接OF，
則OF⊥AC，
在Rt△OAF中，sinA=

OF

AO

=

3

5

，
在Rt△OFA中，AO²=OF²+AF²，
∴OA=

5

3

OF，
又∵AB=OA+OB=5，
∴

5

3

OF+OF=5，
∴OF=

15

8

∴⊙O的半徑

15

8

．

點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可，解題時要熟練運用銳角三角函數(shù)的定義表示出兩條邊之間的關系．