(2010•朝陽區(qū)一模)已知直線y=kx-3與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點C,拋物線經(jīng)過點A和點C,動點P在x軸上以每秒1個長度單位的速度由拋物線與x軸的另一個交點B向點A運動,點Q由點C沿線段CA向點A運動且速度是點P運動速度的2倍.
(1)求此拋物線的解析式和直線的解析式;
(2)如果點P和點Q同時出發(fā),運動時間為t(秒),試問當(dāng)t為何值時,△PQA是直角三角形;
(3)在直線CA上方的拋物線上是否存在一點D,使得△ACD的面積最大?若存在,求出點D坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)將A點坐標代入直線的解析式中,即可求得k的值,從而確定該直線的解析式;將A、C的坐標代入拋物線的解析式中,可求得m、n的值,從而確定拋物線的解析式.
(2)根據(jù)(1)得到的拋物線解析式,可求得點B的坐標,根據(jù)P、Q的運動速度,可用t表示出BP、CQ的長,進而可得到AQ、AP的長,然后分三種情況討論:
①∠APQ=90°,此時PQ∥OC,可得到△APQ∽△AOC,根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得t的值;
②∠AQP=90°,亦可證得△APQ∽△ACO,同①的方法可求得此時t的值;
③∠PAQ=90°,顯然這種情況是不成立的.
(3)過D作y軸的平行線,交直線AC于F,設(shè)出點D的橫坐標,根據(jù)拋物線和直線AC的解析式可表示出D、F的縱坐標,進而可求得DF的長,以DF為底,A點橫坐標的絕對值為高即可得到△ADC的面積表達式(或由△ADF、△CDF的面積和求得),由此可求出關(guān)于△ADC的面積和D點橫坐標的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得△ADC的面積最大值及對應(yīng)的D點坐標.
解答:解:(1)∵直線y=kx-3過點A(4,0),
∴0=4k-3,解得k=
∴直線的解析式為y=x-3.(1分)
由直線y=x-3與y軸交于點C,可知C(0,-3).
∵拋物線經(jīng)過點A(4,0)和點C,

解得m=
∴拋物線解析式為.(2分)

(2)對于拋物線,
令y=0,則,
解得x1=1,x2=4.
∴B(1,0).
∴AB=3,AO=4,OC=3,AC=5,AP=3-t,AQ=5-2t.
①若∠Q1P1A=90°,則P1Q1∥OC(如圖1),
∴△AP1Q1∽△AOC.
,
,
解得t=;(3分)
②若∠P2Q2A=90°,
∵∠P2AQ2=∠OAC,
∴△AP2Q2∽△AOC.
,

解得t=;(4分)
③若∠QAP=90°,此種情況不存在.(5分)
綜上所述,當(dāng)t的值為時,△PQA是直角三角形.

(3)答:存在.
過點D作DF⊥x軸,垂足為E,交AC于點F(如圖2).
∴S△ADF=DF•AE,S△CDF=DF•OE.
∴S△ACD=S△ADF+S△CDF
=DF•AE+DF•OE
=DF×(AE+OE)
=×(DE+EF)×4
=×()×4
=.(6分)
∴S△ACD=(0<x<4).
又∵0<2<4且二次項系數(shù),
∴當(dāng)x=2時,S△ACD的面積最大.
而當(dāng)x=2時,y=
∴滿足條件的D點坐標為D(2,).(7分)
點評:此題考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法等知識,(3)題中,將圖形面積的最大(小)值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題是此類題常用的解法.
練習(xí)冊系列答案
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(2010•朝陽區(qū)一模)請閱讀下列材料:
問題:如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,且PA=2,PB=,PC=1、求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長.?
李明同學(xué)的思路是:將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖2),連接PP′,可得△P′PC是等邊三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,進而求出等邊△ABC的邊長為,問題得到解決.
請你參考李明同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點P,且PA=,BP=,PC=1.求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長.?

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(參考數(shù)據(jù):

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(2010•朝陽區(qū)一模)某校組織了“展示我美麗校園”的自拍照片的評比活動.根據(jù)獲獎同學(xué)在評比中的成績制成的統(tǒng)計圖表如下:?
分數(shù)段頻數(shù)頻率
80≤x<85x0.2
85≤x<9080y
90≤x<95600.3
95≤x<100200.1

根據(jù)頻數(shù)分布直方圖提供的信息,解答下列問題:
(1)寫出表中x,y的數(shù)值:x______,y______;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若評比成績在95分以上(含95分)的可以獲得特等獎,那么特等獎的獲獎率是多少?
(4)獲獎成績的中位數(shù)落在哪個分數(shù)段?

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