Question

三角形紙片ABC，∠C=90°，AB=2BC=12．將紙片折疊使點A總是落在BC邊上，記為點D，EF是折痕，如右圖．
（1）當△DEF是以∠EDF為頂角的等腰三角形時，求△DCF的面積；
（2）在BC邊上是否存在一點D，使以D，E，F(xiàn)為頂點的三角形和以D，E，B為頂點的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，sinA=．
∴∠A=30°=∠EDF，AC=AB•cos30°=6•
△DEF是以∠EDF為頂角的等腰三角形，
∴∠DFE=∠DEF=75°
∴∠DFC=30°，
∴DF=2DC=AF，CF=DC，
∴DC+2DC=6，
∴DC=12-18，CF=DC=36-18
∴△DCF的面積s=378-648；

（2）不存在．理由如下：
在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，
因為∠EDF=30°．
如果△DEF和△BDE相似，則∠BDE和∠BED必須有一個等于30°，顯然當D點與C點重合的時候∠BDE最小，此時∠BDE=6 O°，
所以∠BDE不可能等于30°，
如果∠BED=30°，那么∠BDE=90°，而∠DEF=75°，
所以△DEF和△BDE不能相似，
所以，在BC邊上不存在點D，使以D、E、F為頂點的三角形和以D、E、B為頂點的三角形相似．
分析：（1）在Rt△ABC中，由于AB=2BC，利用sinA可以得到∠A=30°=∠EDF，接著利用三角函數(shù)可以求出AC，而△DEF是以∠EDF為頂角的等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠DFE=∠DEF=75°，進一步得到∠DFC=30°，利用直角三角形的性質可以得到DF=2DC=AF，CF=DC，然后列出方程DC+2DC=6，由此求出CD，CF，最后利用面積的割補即可求解．
（2）不存在．由于在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，而∠EDF=30°，如果△DEF和△BDE相似，則根據(jù)相似三角形的性質得到∠BDE和∠BED必須有一個等于30°，顯然當D點與C點重合的時候∠BDE最小，此時∠BDE=6 O°，由此即可判定；如果∠BED=30°，那么∠BDE=90°，而∠DEF=75°，所以△DEF和△BDE不能相似，這樣就可以解決問題．
點評：此題分別考查了相似三角形的性質與判定、解直角三角形及折疊問題，也是一個存在性問題，解題時首先正確理解題意，然后利用圖形的性質解決問題．