【題目】如圖所示,直線l:y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.把△AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,拋物線過點(diǎn)B、C和D(3,0).
(1)求直線BD和拋物線的解析式.
(2)若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上,以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似,求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使S△PBD=6?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:∵直線l:y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,
∴A(﹣1,0),B(0,3);
∵把△AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,∴C(1,0).
設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,
∵點(diǎn)B(0,3),D(3,0)在直線BD上,
∴ ,
解得k=﹣1,b=3,
∴直線BD的解析式為:y=﹣x+3.
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣1)(x﹣3),
∵點(diǎn)B(0,3)在拋物線上,
∴3=a×(﹣1)×(﹣3),
解得:a=1,
∴拋物線的解析式為:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3
(2)解:拋物線的解析式為:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1).
直線BD:y=﹣x+3與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,令x=2,得y=1,
∴M(2,1).
設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,則CF=FD=MF=1,
∴△MCD為等腰直角三角形.
∵以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似,
∴△BND為等腰直角三角形.
如答圖1所示:
(I)若BD為斜邊,則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O,
∴N1(0,0);
(II)若BD為直角邊,B為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上,
∵OB=OD=ON2=3,
∴N2(﹣3,0);
(III)若BD為直角邊,D為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上,
∵OB=OD=ON3=3,
∴N3(0,﹣3).
∴滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3)
(3)解:方法一:
假設(shè)存在點(diǎn)P,使S△PBD=6,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n).
(I)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí),如答圖2所示:
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,則PE=n,DE=m﹣3.
S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE= (3+n)m﹣ ×3×3﹣ (m﹣3)n=6,
化簡得:m+n="7" ①,
∵P(m,n)在拋物線上,
∴n=m2﹣4m+3,
代入①式整理得:m2﹣3m﹣4=0,
解得:m1=4,m2=﹣1,
∴n1=3,n2=8,
∴P1(4,3),P2(﹣1,8);
(II)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí),如答圖3所示:
過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,則PE=m,OE=﹣n,BE=3﹣n.
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE= (3+m)(﹣n)+ ×3×3﹣ (3﹣n)m=6,
化簡得:m+n=﹣1 ②,
∵P(m,n)在拋物線上,
∴n=m2﹣4m+3,
代入②式整理得:m2﹣3m+4=0,△=﹣7<0,此方程無解.
故此時(shí)點(diǎn)P不存在.
綜上所述,在拋物線上存在點(diǎn)P,使S△PBD=6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)或(﹣1,8).
方法二:
假設(shè)存在點(diǎn)P,使S△PBD=6,
過點(diǎn)P作直線l平行BD,則l與BD的距離為d,
∵BD= =3 ,
∴S△PBD= BD×d,
∴d=2 ,
∵BD與y軸夾角為45°,
∴BB′=4,
∴將BD上移或下移4個(gè)單位,
①上移4個(gè)單位,l解析式為:y=﹣x+7,
∵y=x2﹣4x+3,
∴x2﹣3x﹣4=0,
∴x1=4,x2=﹣1,
②下移4個(gè)單位,l解析式為y=﹣x﹣1,
∵y=x2﹣4x+3,
∴x2﹣3x+4=0,△<0,∴此方程無解,
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)或(﹣1,8)
【解析】(1)由題意得到A、B的坐標(biāo),由△AOB沿y軸翻折,得到C點(diǎn)坐標(biāo),由B、D點(diǎn)坐標(biāo)求出直線BD的解析式;由點(diǎn)B坐標(biāo)得到二次函數(shù)解析式;(2)由拋物線的解析式,得到頂點(diǎn)坐標(biāo),由已知條件得到△MCD為等腰直角三角形,由點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似,得到△BND為等腰直角三角形,(I)若BD為斜邊,則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O,得到點(diǎn)N的坐標(biāo);(II)若BD為直角邊,B為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上,得到點(diǎn)N的坐標(biāo);(III)若BD為直角邊,D為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上,得到點(diǎn)N的坐標(biāo);(3)(I)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí),求出S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE的值,得到點(diǎn)P的坐標(biāo);(II)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí),求出S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE的值,得到此時(shí)點(diǎn)P不存在;此題是綜合題,難度較大,計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸的正半軸上,點(diǎn)C在第一象限,如果∠OAB=30°,那么點(diǎn)C的坐標(biāo)是 .
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【題目】如圖,△ABC中,D是BC的中點(diǎn),過D點(diǎn)的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于G點(diǎn),DE⊥DF,交AB于點(diǎn)E,連結(jié)EG、EF.
(1)求證:BG=CF.
(2)請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系,并說明理由.
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【題目】在一次捐款活動(dòng)中,某班50名同學(xué)人人拿出自己的零花錢,有捐5元、10元、20元的,還有捐50元和100元的.如圖的統(tǒng)計(jì)圖反映了不同捐款數(shù)的人數(shù)比例,那么該班同學(xué)平均每人捐款( )
A. 32.4元 B. 31.2元 C. 31元 D. 32元
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【題目】某公司欲招聘一名公關(guān)人員,對(duì)甲、乙、丙、丁四位候選人進(jìn)行了面試和筆試,他們的成績?nèi)绫恚?/span>
候選人 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
測試成績 (百分制) | 面試 | 86 | 92 | 90 | 83 |
筆試 | 90 | 83 | 83 | 92 |
如果公司認(rèn)為,作為公關(guān)人員面試的成績應(yīng)該比筆試的成績更重要,并分別賦予它們和的權(quán).根據(jù)四人各自的平均成績,公司將錄。ā 。
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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【題目】如圖,折疊矩形ABCD的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處,已知折痕AE=5 cm,且tan∠EFC=0.75,則矩形ABCD的周長為 .
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【題目】某市實(shí)行中考改革,需要根據(jù)該市中學(xué)體能的實(shí)際情況重新制定中考體育標(biāo)準(zhǔn).為此,抽取了50名初中畢業(yè)的女學(xué)生進(jìn)行“一分鐘仰臥起坐”次數(shù)測試.測試的情況繪制成表格如下:
(1)求這次抽樣測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(2)根據(jù)這一樣本數(shù)據(jù)的特點(diǎn),你認(rèn)為該市中考女生“一分鐘仰臥起坐”項(xiàng)目測試的合格標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為多少次較為合適?請(qǐng)簡要說明理由;
(3)根據(jù)(2)中你認(rèn)為合格的標(biāo)準(zhǔn),試估計(jì)該市中考女生“一分鐘仰臥起坐”項(xiàng)目測試的合格率是多少?
次數(shù) | 6 | 12 | 15 | 18 | 20 | 25 | 27 | 30 | 32 | 35 | 36 |
人數(shù) | 1 | 1 | 7 | 18 | 10 | 5 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算或化簡
(1); (2)(﹣2a2)(3ab2﹣5ab3)
(3)(x+3)(x﹣7)﹣x(x﹣1). (4)(a﹣2b+1)(a+2b+1)
(5)(3a﹣b)2﹣(2a+b)2﹣5a(a﹣b) (6)(x+2y)2(x﹣2y)2
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