Question

如圖，⊙O內(nèi)接△ABC，∠ACB=45°，∠AOC=150°，AB的延長線與過點C的切線相交于點D，若⊙O的半徑為1，則BD的長是（　　）

• A、

  -1+ 5

  2

• B、

  1+ 5

  2

• C、

  - 2 + 6

  2

• D、

  2 + 6

  2

Answer 1

分析：連接OB．根據(jù)圓周角定理求得∠AOB=2∠ACB=90°，再根據(jù)等腰直角三角形AOB求得AB的長；根據(jù)等邊三角形OBC求得BC的長；根據(jù)等角對等邊可以求得CD=BC=1，最后根據(jù)切割線定理即可求解．

解答：解：連接OB，
∵∠ACB=45°，∠AOC=150°，
∴∠AOB=90°，∠BOC=60°，
又OA=OB=OC=1，
∴△AOB是等腰直角三角形，△OBC是等邊三角形，∠OAC=∠OCA=75°，
∴AB=

2

，BC=1，∠OAB=45°，∠OCB=60°．
∵CD切圓于點C，
∴∠OCD=90°，
∴∠CAD=30°，∠ACD=75°，
∴∠D=75°，
∴CD=BC=1．
根據(jù)切割線定理，得CD²=BD•AD，
設(shè)BD=x，則有x（x+

2

）=1，
x²+

2

x-1=0，
x=

- 2 ± 6

2

（負值舍去）．
故選C．

點評：此題綜合運用了圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、切割線定理．