Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．過點C作CE⊥AB于E，交對角線BD于F．點G為BC中點，連結(jié)EG、AF．

1.求EG的長

2.求證：CF ＝AB ＋AF

 

Answer 1

【答案】

 

1.解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°，

∴∠DBC＝∠DCB＝45°，

∴CD＝DB＝2，∴CB＝＝2，

∵CE⊥AB于E，點G為BC中點，∴EG＝CB＝．（2分）

2.證明：延長BA、CD交于點H，∵BD⊥CD，

∴∠CDF＝∠BDH＝90°，

∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°，

∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)，DF＝DH， CF＝ BH＝BA＋AH，

∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°，∠HDA＝∠DCB＝45°，

∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA，

∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH，

又CF＝BH＝BA＋AH ，∴CF＝AB＋AF．（6分）

【解析】（1）根據(jù)BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根據(jù)勾股定理求出BC=2 ，根據(jù)CE⊥BE，點G為BC的中點即可求出EG；

（2）在線段CF上截取CH=BA，連接DH，根據(jù)BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，證出△ABD≌△HCD，得到CD=BD，∠ADB=∠HDC，根據(jù)AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，證出△ADF≌△HDF，即可得到答案