Question

【題目】如圖1，直線AB與x、y軸分別相交于點(diǎn)B、A，點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn)，以AB、BC為邊作平行四邊形ABCD，連接BD，BD＝BC，將△AOB沿x軸從左向右以每秒一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)O和點(diǎn)C重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)△AOB與△BCD重合部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，S與t之間的函數(shù)如圖（2）所示（其中0＜t≤2，2＜t≤m，m＜t＜n時(shí)函數(shù)解析式不同）．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　，點(diǎn)D的坐標(biāo)為　 　；

（2）求S與t的函數(shù)解析式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S＝，當(dāng)2＜t≤5時(shí)，S＝，當(dāng)5＜t＜7時(shí)，S＝t2﹣14t+49．

【解析】

（1）由圖象可得當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，當(dāng)t＝m時(shí)，△AOB在△BDC內(nèi)部，可求點(diǎn)B坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，可證四邊形AOHD是矩形，可得AO＝DH，AD＝OH，由勾股定理可求BD的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）分三種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解．

解：（1）由圖象可得當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，

∴OB＝1×2＝2，

∴點(diǎn)B（2，0），

如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，

由圖象可得當(dāng)t＝m時(shí)，△AOB在△BDC內(nèi)部，

∴4＝×2×DH，

∴DH＝4，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，且DH⊥BC，

∴∠ADH＝∠DHO＝90°，且∠AOB＝90°，

∴四邊形AOHD是矩形，

∴AO＝DH，AD＝OH，且AD＝BC＝BD，

∴OH＝BD，

∵DB2＝DH2+BH2，

∴DB2＝（DB﹣2）2+16，

∴DB＝5，

∴AD＝BC＝OH＝5，

∴點(diǎn)D（5，4），

故答案為：（2，0），（5，4）；

（2）∵OH＝BD＝BC＝5，OB＝2，

∴m＝，n＝＝7，

當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖2，

∵S△BCD＝BC×DH，

∴S△BCD＝10

∵A'B'∥CD，

∴△BB'E∽△BCD，

∴＝（）＝，

∴S＝10×＝t2，

當(dāng)2＜t≤5，如圖3，

∵OO'＝t，

∴BO'＝t﹣2，FO'＝（t﹣2），

∵S＝S△BB'E﹣S△BO'F＝t2﹣×（t﹣2）2，

∴S＝﹣t2+t﹣；

當(dāng)5＜t＜7時(shí)，如圖4，

∵OO'＝t，

∴O'C＝7﹣t，O'N＝2（7﹣t），

∵S＝×O'C×O'N＝×2（7﹣t）2，

∴S＝t2﹣14t+49．