Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在ｘ軸和ｙ軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）。雙曲線的圖像經(jīng)過BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE。

（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式

Answer 1

（1）（2）

解：（1）在矩形OABC中，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），∴BC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）。
又∵雙曲線的圖像經(jīng)過點(diǎn)D（1，3），
∴，∴。
∴雙曲線解析式為。
∵E點(diǎn)在AB上，∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2。
又∵經(jīng)過點(diǎn)E，∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為。
∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為。
（2）由（1）得，BD=1，BE=，BC=2，
∵△FBC∽△DEB，∴，即。
∴。∴，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為。
設(shè)直線FB的解析式為，而直線FB經(jīng)過B，F(xiàn)，，
∴，解得。
∴直線FB的解析式為。
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入即可求出k的值，從而由點(diǎn)E在雙曲線上，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)。
（2）由△FBC∽△DEB列比例式求出CF的長而得到OF的長，得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線FB的解析式。