Question

已知1996個(gè)自然數(shù)a₁，a₂，…a₁₉₉₆兩數(shù)的和能被它們的差整除，現(xiàn)設(shè)n=a₁•a₂•a₃•…•a₁₉₉₆．
求證：n，n+a₁，n+a₂，…，n+a₁₉₉₆這1997個(gè)數(shù)仍滿足上述條件．

Answer 1

【答案】分析：將1996個(gè)自然數(shù)由小到大排列，不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃…＜a₁₉₉₆，將問題分三個(gè)方面證明：①證明a₁，a₂…a₁₉₉₆任取3個(gè)，一定有一個(gè)是偶數(shù)；②從a₁，…a₁₉₉₆任取兩個(gè)a_i，a_j，其中a_i＜a_j，下面證明a_j-a_i|n；③從n，n+a₁，n+a₂，…n+a₁₉₉₆任取兩個(gè)n+a_i，n+a_j，其中a_i＜a_j
他們兩個(gè)之差=a_j-a_i，之和=2n+a_i+a_j．
解答：證明：由于自然數(shù)是有序的，因此我可以把他們排列從小到大，不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃…＜a₁₉₉₆，
①證明a₁，a₂…a₁₉₉₆任取3個(gè)，一定有一個(gè)是偶數(shù)．
假設(shè)任取三個(gè)a_i，a_j，a_k，它們?nèi)�部都是奇�?shù)，那么他們可以表示成
a_i=a，a_j=a+2b，a_k=a+2c，
其中a，b，c為正整數(shù)，且a為奇數(shù)，b＜c，我這樣做因?yàn)樗麄兛隙ㄏ喔襞紨?shù)．
由已知
a_j-a_i|a_i+a_j，
a_k-a_i|a_i+a_k，
a_k-a_j|a_j+a_k，
得到
b|a+b，即b|a，
c|a+c，即c|a，
故c-b|a+b+c，
因此b，c都是奇數(shù)，那么a+b+c是3個(gè)奇數(shù)相加，因此也是奇數(shù)，
然而c-b是兩個(gè)奇數(shù)相減，因此是偶數(shù)，那么不可能一個(gè)偶數(shù)c-b能除盡奇數(shù)a+b+c，因此得到矛盾，所以不可能都是奇數(shù)．
②從a₁，…a₁₉₉₆任取兩個(gè)a_i，a_j，其中a_i＜a_j，下面證明a_j-a_i|n．
由a_j-a_i|a_i+a_j，可得a_j-a_i|（a_i+a_j）²=a_i²+2a_ia_j+a_j²=（a_j-a_i）²+4a_ia_j
由于a_j-a_i|（a_j-a_i）²所以a_j-a_i|4a_ia_j
在①里面，可見任何3個(gè)數(shù)中，必有一個(gè)是奇數(shù)，因此a₁，a₂，…a₁₉₉₆至少有2個(gè)偶數(shù)不等于a_i，a_j，
因此，顯然4a_ia_j|n，所以aj-ai|n
③從n，n+a₁，n+a₂，…n+a₁₉₉₆任取兩個(gè)n+a_i，n+a_j，其中a_i＜a_j
他們兩個(gè)之差=a_j-a_i
之和=2n+a_i+a_j
因?yàn)?br />a_j-a_i|n（②中證明的） 和 a_j-a_i|a_i+a_j（已知條件）
所以a_j-a_i|2n+a_i+a_j，
這樣證明了任取兩個(gè)數(shù)屬于{n，n+a₁，n+a₂…n+a₁₉₉₆}，他們之和能被他們之差整除．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)的整除性問題．充分運(yùn)用了分類討論，反證法等數(shù)學(xué)方法證題．