Question

矩形ABCD中，BC=6，AB=8，E是AB上一點，AE的長為，把矩形沿對角線AC對折，點E的對應點為F，EF與AC交于點Q，以CP為直徑的⊙O與直線AQ相切于點Q．
（1）用含t的代數(shù)式表示AP、PE的長；
（2）求t的值．

Answer 1

考點：切線的性質,矩形的性質

專題：計算題

分析：（1）在Rt△ABC中利用勾股定理計算出AC=10，再根據(jù)折疊的性質得到EF⊥AC，則可證明Rt△APE∽Rt△ABC，利用相似比得到

AP

8

=

PE

6

=

t

10

，然后根據(jù)比例的性質易得AP=

4

5

t，PE=

3

5

t；
（2）連結OQ，作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，如圖，由CP為⊙O的直徑，OP⊥EF可判斷EF為⊙O的切線，根據(jù)切線的性質，由直線AQ與⊙O相切于點Q得到OQ⊥AQ，再利用折疊的性質得∠BAC=∠QAC，根據(jù)角平分線定理得到OM=OQ，于是可判斷AB與⊙O相切，根據(jù)切線長定理得EM=PE=

3

5

t；接著利用切線的性質得ON=OM，則可判斷四邊形BMON為正方形，得到BM=OM，然后證明△AOM∽△ACB，利用相似比得到OM=

6

5

t，則BM=

6

5

t，再利用AE+EM+BM=AB得到t+

3

5

t+

6

5

t=8，最后解一次方程即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=6，AB=8，
∴AC=

AB2+BC2

=10，
∵矩形沿對角線AC對折，點E的對應點為F，
∴EF⊥AC，
∵∠EAP=∠CAB，
∴Rt△APE∽Rt△ABC，
∴

AP

AB

=

PE

BC

=

AE

AC

，即

AP

8

=

PE

6

=

t

10

，
∴AP=

4

5

t，PE=

3

5

t；
（2）連結OQ，作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，如圖，
∵CP為⊙O的直徑，OP⊥EF，
∴EF為⊙O的切線，
∵直線AQ與⊙O相切于點Q，
∴OQ⊥AQ，
∵矩形沿對角線AC對折，
∴∠BAC=∠QAC，即AC平分∠BAQ，
∴OM=OQ，
∴AB與⊙O相切，
∴EM=PE=

3

5

t，
∵BC與⊙O相切，
∴ON=OM，
∴四邊形BMON為正方形，
∴BM=OM，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ACB，
∴

OM

BC

=

AM

AB

，即

OM

6

=

t+ 3 5 t

8

，解得OM=

6

5

t，
∴BM=

6

5

t，
∵AE+EM+BM=AB，
∴t+

3

5

t+

6

5

t=8，
∴t=

20

7

．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質和折疊的性質．