Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)C（0，-2），D（-3，-2）．
（1）求△BCD的面積；
（2）若AC⊥BC于C，作∠CBA的平分線交CO于P，交CA于Q，求證：∠CQP=∠CPQ
（3）若點(diǎn)B為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，∠ACB的平分線CE交DA的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，設(shè)∠ADC=∠DAC=α，∠ACE=β，請(qǐng)你用含α、β的式子表示∠E的大�。�
（4）在（3）的條件下，

∠E

∠ABC

的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABQ=∠CBQ，然后根據(jù)等角的余角相等解答；
（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式整理即可得解；
（4）在△AOE和△BOC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理表示出∠ABC，然后相比即可得解．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD∥x軸，
∴△BCD的面積=

1

2

×3×2=3；

（2）∵BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ=∠CBQ，
∵AC⊥BC，
∴∠CBQ+∠CQP=90°，
又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，
∴∠CQP=∠CPQ；

（3）在△ACE中，∠E=∠DAC-∠ACE=α-β；

（4）在△AOE和△BOC中，∠E+∠EAO+∠AOE=180°，
∠ABC+∠BCO+∠BOC=180°，
∵CD∥x軸，
∴∠EAO=∠ADC=α，
又∵∠AOE=∠BOC（對(duì)頂角相等），
∴∠E+∠EAO=∠ABC+∠BCO，
即α-β+α=∠ABC+β，
∴∠ABC=2（α-β），
∴

∠E

∠ABC

=

1

2

，（是定值，不變）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，綜合題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．