Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，BC=10．
（1）求AC邊的長(zhǎng)；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)沿三角形的邊界運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)以1個(gè)單位/秒的速度沿A→B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)以2個(gè)單位/秒的速度沿A→C→B→A方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q相遇時(shí)都停止運(yùn)動(dòng)．
①求P、Q運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)△APQ的面積；
②設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，S是否有最大值？若有，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的t值和S的最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中直接用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．
（2）1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，因此三角形的面積為

1

2

OC•AP據(jù)此可靠求出其值．
2）本題要分三種情況進(jìn)行求解：
①當(dāng)Q在AC（包括C點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三角形APQ的面積可用AP•AQ÷2來求得．
②當(dāng)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，而P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包括P，B重合），三角形APQ的面積可用AP•BQ•sin∠B÷2來求得．
③當(dāng)Q，P都在BC上運(yùn)動(dòng)直到兩點(diǎn)相遇停止運(yùn)動(dòng)．三角形APQ的面積可用三角形AQB的面積-三角形ABP的面積來求．
綜上所述可得出關(guān)于不同的t的取值范圍內(nèi)S，t的函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出S的最大值和對(duì)應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）在直角三角形ABC中，AB=8，BC=10，
根據(jù)勾股定理可得：AC=6．

（2）1）當(dāng)t=6時(shí)，AP=6，AC+CQ=2×6=12，
∴BQ=AC+BC-（AC+CQ）=6+10-12=4，
過點(diǎn)Q作QD⊥AB于D，
∵∠A=90°，
∴QD∥AC，
∴

QD

AC

=

QB

BC

，
即

QD

6

=

4

10

，
∴QD=

12

5

，
S_△APQ=

1

2

×AP×QD=

1

2

×6×

12

5

=

36

5

．
2）當(dāng)P，Q相遇時(shí)3t=10+6+8，解得t=8．
因此本題分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)0＜t≤6時(shí)，S=

1

2

AP•AQ=

1

2

t²，
因此當(dāng)t=6時(shí)，Smax=18．
②當(dāng)6＜t≤8時(shí)，S=

1

2

（16-t）×

3

5

×t=-

3

10

（t-8）²+

96

5

；
因此當(dāng)t=8時(shí)，Smax=

96

5

．
綜上所述，當(dāng)t=8時(shí)，S的值最大，最大值為

96

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理、解直角三角形、一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．