RtABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.

(Ⅰ)探究新知

如圖① ⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,與三邊分別相切于點EF、G..

(1)求證內(nèi)切圓的半徑r1=1;

(2)求tan∠OAG的值;

(Ⅱ)結(jié)論應用

(1)如圖②若半徑為r2的兩個等圓⊙O1、⊙O2外切,且⊙O1ACAB相切,⊙O2BC、AB相切,求r2的值;

(2)如圖③若半徑為rnn個等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切,且⊙O1AC、AB相切,⊙OnBC、AB相切,⊙O1、⊙O2、…、⊙On均與AB相切,求rn的值.

   (Ⅰ)(1)證明:在圖①中,連結(jié)OE,OF,OA

 ∵四邊形CEOF是正方形,     ……………………1分

CE=CF=r1.

又∵AG=AE=3-r1,BG=BF=4-r1

AG+BG=5,

∴(3-r1)+(4-r1)=5.

r1=1.                             ……………………3分

(2)連結(jié)OG,在Rt△AOG中,

r1=1, AG= 3-r1=2,

tan∠OAG==;                ……………………5分

(Ⅱ)(1)連結(jié)O1A、O2B,作O1DAB交于點DO2EAB交于點E,AO1BO2分別平分∠CAB、∠ABC.

由tan∠OAG=,知tan∠O1AD=,

同理可得:tan∠O2BE== ,           

    ∴AD=2r2DE=2r2,BE=3r2.              …………………6分

AD+DE+BE=5,

r2=;                                ……………………8分

(2)如圖③,連結(jié)O1A、OnB,作O1DAB交于點D、O2EAB交于點E、…、OnMAB交于點M.

AO1、BO2分別平分∠CAB、∠ABC.

tan∠O1AD=,tan∠OnBM=,

     AD=2rnDE=2rn,…,MB=3rn

又∵AD+DE++MB=5,

2rn+2rn+…+3rn=5,

(2n+3) rn=5,

rn=.                  …………………………………10分

練習冊系列答案
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a
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a
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A、9:4B、9:2C、3:4D、3:2

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