Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BC、CD是弦，過點B作BE⊥CD交弦CD 的延長線于E，連結(jié)OC，∠BOC=2∠CBE．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若CD=6，∠COB=120°，求的長．

Answer 1

（1）方法一：
證明：∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，
∠BOC=2∠CBE，
∴2∠OBC+2∠CBE=180°，
∴∠OBC+∠CBE=90°，
∴OB⊥BE，
∵點B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切線．
方法二：
證明：連接AC
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°．
∴∠BAC+∠CBA=90°，
∵∠BOC=2∠CBE，
∠BOC=2∠BAC，
∴∠BAC=∠CBE，
∴∠CBE+∠CBA=90°，
∴OB⊥BE，
∵點B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切線．

（2）解：連結(jié)OD．
∵∠COB=120°，
∠BOC=2∠CBE，
∴∠CBE=60°，
∵BE⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OD=CD=6，
∴=．
分析：（1）根據(jù)等邊對等角得出∠OBC=∠OCB，進而利用已知得出2∠OBC+2∠CBE=180°，即可得出OB⊥BE，BE是⊙O的切線；
（2）利用切線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定得出△OCD是等邊三角形，進而利用弧長公式求出即可．
點評：此題主要考查了弧長公式的應(yīng)用以及等邊三角形的判定和切線的性質(zhì)和判定等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．