Question

已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F，
（1）如圖1，若∠ACD=60°，則∠AFB=

 

；如圖2，若∠ACD=90°，則∠AFB=

 

；如圖3，若∠ACD=120°，則∠AFB=

 

；
（2）如圖4，若∠ACD=α，則∠AFB=

 

（用含α的式子表示）；
（3）將圖4中的△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點F至少在BD、AE中的一條線段上），變成如圖5所示的情形，若∠ACD=α，則∠AFB與α的有何數(shù)量關(guān)系？并給予證明．

Answer 1

分析：（1）如圖1，首先證明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根據(jù)∠AFB是△ADF的外角求出其度數(shù)．
如圖2，首先證明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，進而得出∠AFB=90°．
如圖3，首先證明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，進而求出∠AFB=60°．
（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的內(nèi)角和定理得∠CAE=∠CDB，從而得出∠DFA=∠ACD，得到結(jié)論∠AFB=180°-α．
（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通過證明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論∠AFB=180°-α．

解答：解：（1）如圖1，CA=CD，∠ACD=60°，
所以△ACD是等邊三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
所以△ECB是等邊三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如圖2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如圖3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB=180°-（180-∠ACD）=120°，
∴∠FAB+∠FBA=120°．
∴∠AFB=60°．
故填120°，90°，60°．

（2）∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．

（3）∠AFB=180°-α；
證明：∵∠ACD=∠BCE=α，則∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
則△ACE≌△DCB（SAS）．
則∠CBD=∠CEA，由三角形內(nèi)角和知∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．

點評：本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識．