【題目】如圖1,拋物線:與:相交于點O、C,與分別交x軸于點B、A,且B為線段AO的中點.
(1)求的值;
(2)若OC⊥AC,求△OAC的面積;
(3)拋物線C2的對稱軸為l,頂點為M,在(2)的條件下:
①點P為拋物線C2對稱軸l上一動點,當(dāng)△PAC的周長最小時,求點P的坐標(biāo);
②如圖2,點E在拋物線C2上點O與點M之間運動,四邊形OBCE的面積是否存在最大值?若存在,求出面積的最大值和點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3)①P(,);②E(,),.
【解析】
試題分析:(1)由兩拋物線解析式可分別用a和b表示出A、B兩點的坐標(biāo),利用B為OA的中點可得到a和b之間的關(guān)系式;
(2)由拋物線解析式可先求得C點坐標(biāo),過C作CD⊥x軸于點D,可證得△OCD∽△CAD,由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于a的方程,可求得OA和CD的長,可求得△OAC的面積;
(3)①連接OC與l的交點即為滿足條件的點P,可求得OC的解析式,則可求得P點坐標(biāo);
②設(shè)出E點坐標(biāo),則可表示出△EOB的面積,過點E作x軸的平行線交直線BC于點N,可先求得BC的解析式,則可表示出EN的長,進一步可表示出△EBC的面積,則可表示出四邊形OBCE的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值,及E點的坐標(biāo).
試題解析:
(1)在y=x2+ax中,當(dāng)y=0時,x2+ax=0,x1=0,x2=﹣a,∴B(﹣a,0),在y=﹣x2+bx中,當(dāng)y=0時,﹣x2+bx=0,x1=0,x2=b,∴A(0,b),∵B為OA的中點,∴b=﹣2a,∴;
(2)聯(lián)立兩拋物線解析式可得:,消去y整理可得,解得,,當(dāng)時,,∴C(,),過C作CD⊥x軸于點D,如圖1,∴D(,0),∵∠OCA=90°,∴△OCD∽△CAD,∴,∴CD2=ADOD,即,∴a1=0(舍去),(舍去),,∴OA=-2a=,CD==1,∴;
(3)①拋物線,∴其對稱軸,點A關(guān)于l2的對稱點為O(0,0),C( ,1),則P為直線OC與l2的交點,設(shè)OC的解析式為y=kx,∴1=k,得k=,∴OC的解析式為,當(dāng)時,,∴P(,);
②設(shè)E(m,)(),則,而B(,0),C( ,1),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,由,解得:k= ,b=-2,∴直線BC的解析式為,過點E作x軸的平行線交直線BC于點N,如圖2,則,即x=
∴EN=
∴
∴S四邊形OBCE=S△OBE+S△EBC
,∵,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴E(,),.
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【題目】若點A(1+m,1﹣n)與點B(﹣3,2)關(guān)于y軸對稱,則m+n的值是( 。
A. ﹣5 B. ﹣3 C. 3 D. 1
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知一次函數(shù)y=x﹣1的圖象經(jīng)過P1(x1 , y1)、P2(x2 , y2)兩點,若x1<x2 , 則y1y2(填“>”,“<”或“=”)
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【題目】下列語句正確的是( 。
A. 1是最小的自然數(shù)
B. 平方等于它本身的數(shù)只有1
C. 絕對值最小的數(shù)是0
D. 任何有理數(shù)都有倒數(shù)
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【題目】若數(shù)軸上點A,B分別表示數(shù)2,﹣2,則A,B兩點之間的距離為( 。
A. 0B. 4C. ﹣2D. ﹣4
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)三點.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)點D是該二次函數(shù)圖象上的一點,且滿足∠DBA=∠CAO(O是坐標(biāo)原點),求點D的坐標(biāo);
(3)點P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動點,連接PA分別交BC,y軸與點E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2,求S1-S2的最大值.
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【題目】計算題
(1)若3a=6,9b=2,求32a+4b的值;
(2)已知xy=8,x﹣y=2,求代數(shù)式 x3y﹣x2y2+ xy3的值.
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【題目】某中學(xué)了解本校學(xué)生對球類運動的愛好情況,分為足球、籃球、排球、其他四個方面調(diào)查若干名學(xué)生,每人只選其中之一,統(tǒng)計后繪制成不完整的“折線統(tǒng)計圖”(扇形統(tǒng)計圖),根據(jù)信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共調(diào)查名學(xué)生;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,“足球”所在扇形圓心角度;
(3)將折線統(tǒng)計圖補充完整.
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