Question

將12分成兩部分，使它們的乘積為正整數(shù)k，試探求：

(1)將12分成怎樣的兩部分，可以使他們的乘積k等于20或27？

(2)有沒有這樣的k，隨便怎樣分，都無法使它們的乘積等于這個k？

(3)兩部分的乘積正整數(shù)k，有沒有最大的或最小的數(shù)值？

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)設(shè)分成x、12－x兩部分，則根據(jù)題意可列出方程 　　x(12－x)＝k當(dāng)k＝20時，x(12－x)＝20 　　整理，得　　x2－12x＋20＝0 　　解這個方程得　　x1＝2，x2＝10 　　當(dāng)x1＝2時，12－x＝10，當(dāng)x2＝10時，12－x＝2 　　所以此時12可以分成2、10兩部分． 　　當(dāng)k＝27時，x(12－x)＝27 　　整理，得　　x2－12x＋27＝0 　　解這個方程，得　　x1＝3，x2＝9 　　當(dāng)x1＝3時，12－x＝9；當(dāng)x2＝9時，12－x＝3. 　　(2)對方程x(12－x)＝k討論： 　　整理，得　　x2－12x＋k＝0 　　b2－4ac＝(－12)2－4×1×k＝144－4k根據(jù)題意，得　　144－4k＜0． 　　即　　k＞36． 　　當(dāng)　　k＞36時，此方程無解．也就是說，當(dāng)k取大于36的整數(shù)時，隨便怎樣分，都無法使它們的乘積等于這個k． 　　(3)對一元二次方程x2－12x＋k＝0而言， 　　x＝＝6± 　　要使36－k為完全平方數(shù)，k又要為正整數(shù)，故最大的k為36，最小的k為11． 　　評析：構(gòu)造一元二次方程，把問題轉(zhuǎn)化為對一元二次方程解進行討論是一元二次方程根的判別式的重要應(yīng)用，此種方法也叫“Δ法”．

提示：

思路與技巧：建立方程模型是解決此問題的好方法，若把12分成x，12－x兩部分．即可得到方程x(12－x)＝k，然后探討，所謂好不好分，就是方程有沒有整數(shù)解，有沒有最大的或最小的正整數(shù)使方程x(12－x)＝k成立．