【題目】【問(wèn)題情境】
如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點(diǎn),E是CD邊的中點(diǎn),AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)證明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【拓展延伸】
(3)若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,探究展示(1)、(2)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)分別作出判斷,不需要證明.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;
成立;證明見(jiàn)解析;
(3)①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.
②結(jié)論AM=DE+BM不成立.
【解析】分析:(1)從平行線(xiàn)和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā),延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N,如圖1(1),易證△ADE≌△NCE,從而有AD=CN,只需證明AM=NM即可.
(2)作FA⊥AE交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,易證AM=FM,只需證明FB=DE即可;要證FB=DE,只需證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可.
(3)在圖2(1)中,仿照(1)中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立;在圖2(2)中,采用反證法,并仿照(2)中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立.
本題解析:(1)證明:延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N,如圖1(1),
∵四邊形ABCD是正方形,∴AD∥BC.∴∠DAE=∠ENC.∵AE平分∠DAM,∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.∴MA=MN.
∴△ADE≌△NCE(AAS)
∴AD=NC.∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
證明:過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE,交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,如圖1(2)所示.
∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°.∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.
∴△ABF≌△ADE(ASA).∴BF=DE,∠F=∠AED.∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.∴AM=FM.∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.
證明:延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)P,如圖2(1),
∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠DAE=∠EPC.∵AE平分∠DAM,∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EPC=∠MAE.∴MA=MP.
∴△ADE≌△PCE(AAS).∴AD=PC.∴MA=MP=PC+MC=AD+MC.
②結(jié)論AM=DE+BM不成立.
證明:假設(shè)AM=DE+BM成立.過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥AE,交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q,如圖2(2)所示.
∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB∥DC.∵AQ⊥AE,
∴∠QAE=90°.∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.∴∠Q=90°﹣∠QAB=90°﹣∠DAE=∠AED.
∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.∵∠QAB=∠EAD=∠EAM,∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB ∴∠Q=∠QAM.∴AM=QM.∴AM=QB+BM.∵AM=DE+BM,∴QB=DE.
∴△ABQ≌△ADE(AAS)∴AB=AD.與條件“AB≠AD“矛盾,故假設(shè)不成立.
∴AM=DE+BM不成立.
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