Question

已知二次函數(shù)y=x²+px+q（p，q為常數(shù)，△=p²-4q＞0）的圖象與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為d，例如，通過(guò)研究其中一個(gè)函數(shù)y=x²-5x+6及圖象（如圖），可得出表中第2行的相關(guān)數(shù)據(jù)．
（1）在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)；
（2）根據(jù)上述表內(nèi)d與△的值，猜想它們之間有什么關(guān)系？再舉一個(gè)符合條件的二次函數(shù)，驗(yàn)證你的猜想；
（3）對(duì)于函數(shù)y=x²+px+q（p，q為常數(shù)，△=p²-4q＞0）證明你的猜想．聰明的小伙伴：你能再給出一種不同于（3）的正確證明嗎？我們將對(duì)你的出色表現(xiàn)另外獎(jiǎng)勵(lì)3分．

y=x2+px+q	p	q	△	x1	x2	d
y=x2-5x+6	-5	6	1	2	3	1
y=x2-x	-
y=x2+x-2		-2		-2		3

Answer 1

解：（1）易得第三行q=0，x₁=0，d=；第四行為p=1，△=9，x₂=1；

（2）猜想：d²=△．
例如：y=x²-x-2中；p=-1，q=-2，△=9；
由x²-x-2=0得x₁=2，x₂=-1，d=3，d²=9，
∴d²=△；

（3）證明．令y=0，得x²+px+q=0，
∵△＞0
設(shè)x²+px+q=0的兩根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
d²=（|x₁-x₂|）²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂
=（-p）²-4q=p²-4q=△，
分析：（1）p為一次項(xiàng)系數(shù)；q為二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)；△為b²-4ac；一根為常數(shù)項(xiàng)÷另一根；d為較大根于較小根之差；
（2）代入相關(guān)值后可得相關(guān)量之間的關(guān)系；
（3）令y=0，得出x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．繼而推出d²=（|x₁-x₂|）²=△
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，需注意可根據(jù)具體的數(shù)值得到相應(yīng)的量之間的關(guān)系．