【題目】如圖,拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點D,C關于拋物線的對稱軸對稱,直線AD與y軸相交于點E.
(1)求直線AD的解析式;
(2)如圖1,直線AD上方的拋物線上有一點F,過點F作FG⊥AD于點G,作FH平行于x軸交直線AD于點H,求△FGH周長的最大值;
(3)如圖2,點M是拋物線的頂點,點P是y軸上一動點,點Q是坐標平面內(nèi)一點,四邊形APQM是以PM為對角線的平行四邊形,點Q′與點Q關于直線AM對稱,連接M Q′,P Q′.當△PM Q′與□APQM重合部分的面積是□APQM面積的時,求□APQM面積.
【答案】(1)直線AD的解析式為:y=x+1;
(2)△FGH周長的最大值為;
(3)□APQM面積為5或10.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)拋物線解析式求得點A、B、C點坐標,由點D,C關于拋物線的對稱軸對稱得點D坐標,繼而利用待定系數(shù)法求解可得;
(2)設點F(x,-x2+2x+3),根據(jù)FH∥x軸及直線AD的解析式y=x+1可得點H(-x2+2x+2,-x2+2x+3),繼而表示出FH的長度,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得FH的最值情況,易得△FGH為等腰直角三角形,從而可得其周長的最大值;
(3)設P(0,p),根據(jù)平行四邊形性質(zhì)及點M坐標可得Q(2,4+p),分P點在AM下方與P點在AM上方兩種情況,根據(jù)重合部分的面積關系及對稱性求得點P的坐標后即可得APQM面積.
試題解析:(1)令-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),C(0,3),
∵點D,C關于拋物線的對稱軸對稱,
∴D(2,3),
∴直線AD的解析式為:y=x+1;
(2)設點F(x,-x2+2x+3),
∵FH∥x軸,
∴H(-x2+2x+2,-x2+2x+3),
∴FH=-x2+2x+2-x=-(x-)2+,
∴FH的最大值為,
由直線AD的解析式為:y=x+1可知∠DAB=45°,
∵FH∥AB,
∴∠FHG=∠DAB=45°,
∴FG=GH=×=
故△FGH周長的最大值為×2+=;
(3)①當P點在AM下方時,如圖,
設P(0,p),易知M(1,4),從而Q(2,4+p),
∵△PM Q′與□APQM重合部分的面積是□APQM面積的,
∴PQ′必過AM中點N(0,2),
∴可知Q′在y軸上,易知QQ′的中點T的橫坐標為1,而點T必在直線AM上,
故T(1,4),從而T、M重合,
故□APQM是矩形,
易得直線AM解析式為:y=2x+2,
而MQ⊥AM,
∴直線QQ′:y=-x+,
∴4+p=-×2+,∴p=-,(注:此處也可用AM2+AP2=MP2得出p=-),∴PN=,
∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5;
②當P點在AM上方時,如圖,
設P(0,p),易知M(1,4),從而Q(2,4+p),
∵△PM Q′與□APQM重合部分的面積是□APQM面積的,
∴PQ′必過QM中點R(,4+),
易得直線QQ′:y=-x+p+5,
聯(lián)立解得:x=,y=,
∴H(, ),
∵H為QQ′中點,故易得Q′(, ),
由P(0,p)、R(,4+)易得直線PR解析式為:y=(-)x+p,
將Q′(, )代入到y=(-)x+p得:
=(-)×+p,
整理得:p2-9p+14=0,解得p1=7,p2=2(與AM中點N重合,舍去),
∴P(0,7),∴PN=5,
∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×∣xM -xA∣=2××5×2=10.
綜上所述,□APQM面積為5或10
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【題目】將一塊長18米,寬15米的矩形荒地修建成一個花園(陰影部分)所占的面積為原來荒地面積的三分之二.(精確到0.1m)
(1)設計方案1(如圖1)花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.
(2)設計方案2(如圖2)花園中每個角的扇形都相同.
以上兩種方案是否都能符合條件?若能,請計算出圖1中的小路的寬和圖2中扇形的半徑;若不能符合條件,請說明理由.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.有一個內(nèi)角是銳角的三角形是銳角三角形B.鈍角三角形的三個內(nèi)角都是鈍角
C.有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形D.三條邊都相等的三角形稱為等腰三角形
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,D為BC上一點,且∠DAB=45°.
(1) 求∠DAC的度數(shù).
(2) 求證:△ACD是等腰三角形.
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【題目】在社會實踐活動中,某中學對甲、乙,丙、丁四個超市三月份的蘋果價格進行調(diào)查.它們的價格的平均值均為3.50元,方差分別為S甲2=0.3,S乙2=0.4,S丙2=0.1,S丁2=0.25.三月份蘋果價格最穩(wěn)定的超市是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,DE,BF相交于點G,連接BD,CG,有下列結(jié)論:①∠BGD=120° ;②BG+DG=CG;③△BDF≌△CGB;④.其中正確的結(jié)論有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】一位同學拿了兩塊45°的三角尺△MNK、△ACB做了一個探究活動:將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處,設AC=BC=a.
(1)如圖1,兩個三角尺的重疊部分為△ACM,則重疊部分的面積為 ,周長為 .
(2)將圖1中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到圖2,此時重疊部分的面積為 ,周長為 .
2(3)如果將△MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖1,圖2的位置,如圖3所示,猜想此時重疊部分的面積為多少?并試著加以驗證.
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【題目】下列正確說法的個數(shù)是( )
①同位角相等;②等角的補角相等;③兩直線平行,同旁內(nèi)角相等;④在同一平面內(nèi),過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
A.1B.2C.3D.4
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【題目】下列命題中是假命題的是()
A.垂線段最短
B.兩條直線被第三條直線所截,同位角相等
C.在同一平面內(nèi),垂直于同一直線的兩條直線平行
D.不等式兩邊加同一個數(shù),不等號的方向不變
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