Question

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)．若AE=2，EM+CM的最小值為（ ）

A．
B．4
C．
D．1+

Answer 1

【答案】分析：要求EM+CM的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EM，CM的值，從而找出其最小值求解．
解答：解：連接BE，與AD交于點(diǎn)G．
∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B，
∴BE就是EM+CM的最小值．
∴G點(diǎn)就是所求點(diǎn)，即點(diǎn)G與點(diǎn)M重合，
取CE中點(diǎn)F，連接DF．
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，AE=2，
∴CE=AC-AE=6-2=4，
∴CF=EF=AE=2，
又∵AD是BC邊上的中線，
∴DF是△BCE的中位線，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E為AF的中點(diǎn)，
∴M為AD的中點(diǎn)，
∴ME是△ADF的中位線，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BE=BM．
在直角△BDM中，BD=BC=3，DM=AD=，
∴BM==，
∴BE=．
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值為 ．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．