Question

某數(shù)學(xué)研究所門前有一個邊長為4米的正方形花壇，花壇內(nèi)部要用紅、黃、紫三種顏色的花草種植成如圖所示的圖案，圖案中AE=MN．準(zhǔn)備在形如Rt△MEH的四個全等三角形內(nèi)種植黃色花草，在形如Rt△AEH的四個全等三角形內(nèi)種植紅色花草，在正方形MNPQ內(nèi)種植紫色花草，每種花草的價格如下表：

品  種	紅色花草	黃色花草	紫色花草
價格（元/米2）	60	80	120

設(shè)AE的長為x米，正方形EFGH的面積為S平方米，買花草所需的費(fèi)用為W元，解答下列問題：
（1）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=

 

；
（2）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求所需的最低費(fèi)用是多少元；
（3）當(dāng)買花草所需的費(fèi)用最低時，求EM的長．

Answer 1

分析：（1）依題意可知S=EH²，又EH²=AE²+AH²，代入數(shù)據(jù)可得S=x²+（4-x）²
（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)，通過配方的方法求得最大值
（3）根據(jù)相關(guān)關(guān)系列出方程，解方程即可得出答案

解答：解：（1）由分析（1）可得答案
S=x²+（4-x）²或2x²-8x+16．（2分）

（2）W=60×4S_△AEH+80（S_{正方形EFGH}-S_{正方形MNPQ}）+120S_{正方形MNPQ}
=60×4×

1

2

x（4-x）+80[x²+（4-x）²-x²]+120x²（4分）
=80x²-160x+1280．（5分）
配方得W=80（x-1）²+1200．（6分）
∴當(dāng)x=1時，W_最小值=1200元．（7分）

（3）因?yàn)樗膫�黃顏色的直角三角形全等，所以EM=QH，
設(shè)EM=a米，則MH=MQ+QH=MQ+EM=（a+1）米．
在Rt△EMH中，a²+（a+1）²=1²+3²，
解得a=

-1± 19

2

∵a＞0
∴a=

19 -1

2

∴EM的長為

19 -1

2

米．（10分）

點(diǎn)評：求二次函數(shù)的最大（�。┲涤腥�種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當(dāng)二次系數(shù)a的絕對值是較小的整數(shù)時，用配方法較好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比較簡單．