【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),菱形OABC的頂點(diǎn)A(3,4),C在x軸的負(fù)半軸,拋物線y=﹣(x﹣2)2+k過點(diǎn)A.
(1)求k的值;
(2)若把拋物線y=﹣(x﹣2)2+k沿x軸向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,使得平移后的拋物線經(jīng)過菱形OABC的頂點(diǎn)C.試判斷點(diǎn)B是否落在平移后的拋物線上,并說明理由.
【答案】(1)(2)當(dāng)m=5時(shí),點(diǎn)B在平移后的拋物線上;當(dāng)m=9時(shí),點(diǎn)B不在平移后的拋物線上.
【解析】
試題分析:(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中,可得出關(guān)于k的一元一次方程,解方程即可得出結(jié)論;
(2)設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)D,結(jié)合勾股定理以及菱形的性質(zhì)找出點(diǎn)B、C的坐標(biāo),根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后過C點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式,代入B點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)驗(yàn)證其是否在平移后的函數(shù)圖象上即可得出結(jié)論..
試題解析:(1)∵經(jīng)過點(diǎn)A(3,4),
∴,解得:;
(2)如圖所示,設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)D,則AD⊥y軸,AD=3,OD=4,.
∵四邊形OABC是菱形,∴OA=AB=OC=5,BD=AB﹣AD=2,∴B(﹣2,4).
令y=0,得,
解得:x1=0,x2=4,
∴拋物線與x軸交點(diǎn)為O(0,0)和E(4,0),OE=4,
當(dāng)m=OC=5時(shí),平移后的拋物線為,
令x=﹣2得,,
∴點(diǎn)B在平移后的拋物線上;
當(dāng)m=CE=9時(shí),平移后的拋物線為,
令x=﹣2得,,
∴點(diǎn)B不在平移后的拋物線上.
綜上,當(dāng)m=5時(shí),點(diǎn)B在平移后的拋物線上;當(dāng)m=9時(shí),點(diǎn)B不在平移后的拋物線上.
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【題目】(本題滿分10分)如圖所示,BD平分∠ABC,AB=BC,點(diǎn)P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,M、N為垂足.求證:PM=PN.
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