Question

仔細觀察下列四個等式
1×2×3×4+1=25=5²
2×3×4×5+1=121=11²
3×4×5×6+1=361=19²
4×5×6×7+1=841=29²
（1）觀察上述計算結(jié)果，找出它們的共同特征．
（2）以上特征，對于任意給出的四個連續(xù)正整數(shù)的積與1的和仍具備嗎？若具備，試猜想，第n個等式應(yīng)是什么？給出你的思考過程
（3）請你從第10個式子以后的式子中，再任意選一個式子通過計算來驗證你猜想的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）都是完全平方數(shù)…；

（2）仍具備．也都是完全平方數(shù)…；
仔細觀察前5個算式與其結(jié)果的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)：
1×2×3×4+1=（1×4+1）²
2×3×4×5+1=（2×5+1）²
3×4×5×6+1=（3×6+1）²
4×5×6×7+1=（4×7+1）²
5×6×7×8+1=（5×8+1）²
…
因此，猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²=（n²+3n+1）²．
即，第n個等式是：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²…

（3）如11×12×13×14+1=24024+1=24025．
（11²+3×11+1）²=（121+33+1）²=155²=24025．
∴11×12×13×14+1=（11²+3×11+1）²．
猜想正確 …
分析：（1）根據(jù)結(jié)果可直接看出它們都是完全平方數(shù)；
（2）根據(jù)規(guī)律計算一個例子即可，可得第n個等式應(yīng)是n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²=（n²+3n+1）²；
（3）可舉例11×12×13×14+1進行計算，再算出（11²+3×11+1）²的結(jié)果即可驗證結(jié)論．
點評：此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法．