Question

求所有的正整數(shù)對(duì)（a，b），使得ab²+b+7整除a²b+a+b．

Answer 1

分析：根據(jù)已知，將式子變形a²b²+ab+b²=a（ab²+b+7）+b²-7a，可得出ab²+b+7|b²-7a，再根據(jù)b²-7a的符號(hào)分類(lèi)討論，求出a、b的對(duì)應(yīng)值．

解答：解：由條件ab²+b+7整除a²b+a+b，
顯然ab²+b+7|a²b²+ab+b²，
而a²b²+ab+b²=a（ab²+b+7）+b²-7a，故ab²+b+7|b²-7a，
下面分三種情況討論；
情形一：b²-7a＞0；這時(shí)b²-7a＜b²＜ab²+b+7，矛盾；
情形二：b²=7a，此時(shí)a，b應(yīng)具有a=7k²，b=7k，k是正整數(shù)的形式，顯然（a，b）=（7k²，7k）滿(mǎn)足條件；
情形二：b²-7a＜0，這時(shí)由7a-b²≥ab²+b+7，則b²＜7，
進(jìn)而b=1或2，當(dāng)b=1時(shí)，則條件

a2+a+1

a+8

=a-7+

57

a+8

為正整數(shù)，
57能被a+8整除，可知a+8=19或57，進(jìn)而知a=11或49，
解得（a，b）=（11，1）或（49，1）；
當(dāng)b=2時(shí)，由

7a-4

4a+9

（＜2）為正整數(shù)，可知

7a-4

4a+9

=1，此時(shí)a=

13

3

，矛盾；
綜上，所有解為（a，b）=（11，1），（49，1）或（7k²，7k）（k是正整數(shù)）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)的整除性，分類(lèi)討論的思想．關(guān)鍵是將原題的整除問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分類(lèi)求解．