Question

（2011•黔南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），△AOB的面積是．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）在（2）中x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，線段OD把△AOB分成兩個(gè)三角形，使其中一個(gè)三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形S=OB•=可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x+2），點(diǎn)A在其上，求得a；
（3）存在點(diǎn)C、過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=-1交x軸于點(diǎn)E、當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱(chēng)軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，△AOC的周長(zhǎng)最小，由三角形相似，得到C點(diǎn)坐標(biāo)．
（4）設(shè)p（x，y），直線AB為y=kx+b，解得k、b，由S_四BPOD=S_△BPO+S_△BOD，S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD，兩面積正比可知，求出x．
解答：解：（1）由題意得OB•=，
∴B（-2，0）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x+2），代入點(diǎn)A（1，），得，
∴y=x²+x，

（3）存在點(diǎn)C、過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F，拋物線
的對(duì)稱(chēng)軸x=-1交x軸于點(diǎn)E、當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱(chēng)軸
與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，△AOC的周長(zhǎng)最小，
∵△BCE∽△BAF，
∴，
∴CE==，
∴C（-1，）．

（4）存在．如圖，設(shè)P（x，y），直線AB為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線AB為y=x+，
S_四BPOD=S_△BPO+S_△BOD=|OB||Y_P|+|OB||Y_D|=|Y_P|+|Y_D|
=x+-（x²+x），
=-x²-x+x+，
=-x²-x+，
∵S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=-×2×|x+|=-x+，
∴==，
∴x₁=-，x₂=1（舍去），
∴p（-，-），
又∵S_△BOD=x+，
∴==，
∴x₁=-，x₂=-2．
P（-2，0），不符合題意．
∴存在，點(diǎn)P坐標(biāo)是（-，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題二次函數(shù)的綜合題，要求會(huì)求二次函數(shù)的解析式，考查三角形相似和面積公式等知識(shí)點(diǎn)，本題步驟有點(diǎn)多，做題需要認(rèn)真細(xì)心．