Question

已知：如圖，AD=DC=BC，∠BCD=2∠BAD．求證：∠ABC=120°-∠BAD．

Answer 1

分析：連接AC，過點D作AC的垂線，垂足為點M，由等腰三角形的性質(zhì)可知DM為AC的中垂線，延長MD交AB于E，連接CE，利用SSS證明△DCE≌△DAE，再運用SAS證明△DCE≌△BCE，得出∠BEC=60°，然后利用三角形內(nèi)角和證明∠ABC=120°-∠BAD．

解答：證明：連接AC，過點D作AC的垂線，垂足為點M，延長MD交AB于E，連接EC．
∵AD=DC，DM⊥AC，
∴DM平分AC，
∴DM為AC的中垂線，
∵E在MD上，
∴AE=CE．
在△DCE與△DAE中，

CE=AE CD=AD DE=DE

，
∴△DCE≌△DAE，
∴∠DCE=∠DAE，∠DEC=∠DEA，
∵∠BCD=2∠BAD，
∴∠BCE=∠DCE=∠DAE．
在△DCE與△BCE中，

DC=BC ∠DCE=∠BCE CE=CE

，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠DEC=∠DEA=∠BEC，
又∵∠DEC+∠DEA+∠BEC=180°，
∴∠DEC=∠DEA=∠BEC=60°，
∵∠ABC=180°-∠BEC-∠BCE，
∴∠ABC=180°-60°-∠BAD=120°-∠BAD．
即∠ABC=120°-∠BAD．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合性較強，有一定難度，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．